Коэффициенты полных материальных затрат.

 

Из предыдущих таблиц можно привести пример, что =0,0397 – количество в рублях продукции тяжелой промышленности, необходимой в 1972 году для выпуска легкой промышленностью ее продукции на 1 рубль.

Рассмотрим подробную запись приведенной формы СММБ:

                                                                                                           (4)

Коэффициенты b_ij обладают экономическим смыслом, для выделения которого зафиксируем номер j и примем следующие значения конечных спросов равными нулями:

y₁=0, y₂=0, …, y_j-1=0, y_j=1, y_j+1=0, …, y_n=0.

Эти величины подставим в (4) и получим:

x_i= b_{1 j}∙0+ b_i2∙0+…+ b_{i( j-1)}∙0+ b_ij∙1+ b_{i( j+1)}∙0+…+ b_in∙0

x_i= b_ij∙1.

Следовательно, b_ij – количество в стоимостном выражении валовой продукции отрасли i, необходимой для выпуска единицы в стоимостном выражении конечной продукции отрасли j.

Поскольку, конечный спрос y_j=1 этой отрасли обеспечивается валовыми выпусками всех отраслей производственного сектора, т.е.

x₁= b_1j

x₂= b_2j

…

x₁= b_ij

…

x_n= b_nj,

 то коэффициенты b_ij именуются коэффициентами полных материальных затрат, а матрица, состоящая из этих коэффициентов B=(E- A)^-1 – матрицей коэффициентов полных затрат или мультипликатором Леонтьева.

Из смысла коэффициентов b_ij вытекают свойства:

1. b_ij>=0, i=1,…,n, j=1,…,n;

2. b_jj>=1, j=1,…,n.

Доказательство первого свойства.

 

Доказательство второго свойства.

Для доказательства полагаем, что y_{i= j}=1, y_{i≠ j}=0.

При этом находим:

Пример.

По матрице технологических коэффициентов (СССР 1972 год) вычислим матрицу коэффициентов полных затрат.

Находим  и муплитикатор Леонтьева.

 

Здесь коэффициент, например, b_{1 j} – количество в рублях продукции тяжелой промышленности, необходимой в 1972 году для обеспечения выпуска конечной продукции легкой промышленностью на 1 рубль.

Сопоставляя коэффициенты полных затрат b_ij с коэффициентами прямых затрат a_ij, получаем , что согласуется с экономическим смыслом этих коэффициентов.

Коэффициенты полных материальных затрат позволяют вычислить валовые выпуски отраслей по заданным значениям их конечной продукции.

Согласно выражениям получаем:

Найденные величины в свою очередь дают возможность рассчитать матрицу межотраслевых поставок:

X ↔ x_ij= a_ij∙ x_j

x₁₂= a₁₂∙ x₂=0.0397∙ x₂ .

Результаты вычислений по СММБ представляются в специальной таблицы – ТМБ.

 

СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

В НАТУРАЛЬНОМ ВЫРАЖЕНИИ.

 

 - структурная форма СММБ.                                                              (1)

 - приведенная форма СММБ.

Переход к СММБ в натуральном выражении производится посредством введения цен.

,  - векторы в натуральном выражении.

Связь векторов ,  с векторами в стоимостном выражении:

,

где p i – цена продукции отрасли i.

Из p i сформируем диагональную матрицу:

,

Подставим в (1):

Это равенство умножим слева на обратную матрицу Р‾¹. Получим:

 – матрица технологических коэффициентов в натуральном выражении.

Для приведенной формы ,

где

 - матрица коэффициентов полных материальных затрат в натуральном выражении.

Коэффициенты этой матрицы обладают следующими свойствами:

1.

2. ,

При планировании бюджетов СММБ составляют одновременно в стоимостном и натуральном выражении. Леонтьев рекомендовал сначала создавать модель в натуральном выражении.

Если такая модель имеется, то переход от  к  осуществляется следующим образом:

,

,

При этом матрицы А и В будут выражаться через натуральные следующим образом:

, .

 

АНАЛИЗ СММБ.

 

Корректность СММБ  определяется свойствами технологической матрицы.

Всякую квадратную матрицу А с неотрицательными коэффициентами называют продуктивной, если:

1. существует

2. , ,

,

Корректность матрицы А дает уверенность в адекватности системы.

Предположив, что в итоге составления двух моделей из двух отраслей экономики получили:

,

Проверим, существуют ли матрицы мультипликатора Леонтьева:

det(Е-А 1 ) =0,25-0,25=0

Следовательно, обратная матрица не существует.

det(Е-А 2 ) =0,25-0,30= -0,05

Коэффициенты этой матрицы отрицательные. Следовательно, матрицы А 1 и А 2 не продуктивны.

Анализ модели СММБ начнем с установления свойства технологических коэффициентов столбца х матрицы А:

,

Для доказательства рассмотрим матрицу межотраслевых поставок:

j –ый столбец этой матрицы представляет собой затраты отраслей производственного сектора на валовый выпуск x j продукции отрасли j. При этом x j всегда больше суммы затрат (иначе нет смысла выпускать):

                                                                                                    (1)

где z j – добавленная стоимость отрасли j (или вновь созданная стоимость) и включает в себя оплату труда работающих по найму, амортизационные отчисления и прибыль этой отрасли.

Величину z j принято называть чистой продукцией отрасли j.

Разделим обе части равенства (1) на x j. Получим:

Отсюда вытекает неравенство:

Обозначим  - первая норма.

Количество | A| 1 называется нормой матрицы А и является измерителем совокупной величины ее коэффициентов a ij. Она используется в признаке продуктивности матрицы.

Кроме этой нормы в признаке продуктивности используются следующие нормы матрицы:

где λ j(А) – это собственные числа матрицы, т.е. корни ее характеристического уравнения.

det(А-λЕ)=0

Признак (достаточное условие) продуктивности матрицы технологических коэффициентов это справедливость неравенства:

,

где

 

ТАБЛИЦА И ТОЖДЕСТВА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА.

 

Всю итоговую информацию, рассчитанную по итогам СММБ, а также исходный вектор  представляют в таблице межотраслевого баланса:

 

N j

N i