Графическое решение уравнения 4 страница

В точке a = 4 функция S(a), т. е. площадь, будет иметь наименьшее значение, которое равно .

Ответ: S = 4 кв. ед.

Вариант 14

1. Упростить:

2. Решить уравнение:

3. Решить неравенство:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Найти площадь треугольника, если длины двух его сторон равны 1 см. и см., а длина медианы третьей стороны равна 2 см.

7. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 тыс. руб. до 195 тыс. руб. Однако, в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из остальных пришлось внести на 1 тыс. руб. больше. Сколько стоил магнитофон?

Решения

1. Упростить:

Решение

Область допустимых значений переменных a и b: .

Ответ: , при .

2. Решить уравнение:

Решение

Положим , получим:

- не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

Получим уравнение: , которое равносильно системе:

Ответ: .

3. Решить неравенство:

Решение

Область допустимых значений , так x находится не только под знаком логарифма, но и в основании логарифма.

Перейдем, в уравнении, к логарифмам по основанию 3, получим:

Решим полученное неравенство методом промежутков. Для этого разложим трехчлен на множители:

(см. рис. 53),

Рис. 53

В результате, получаем множество из объединения промежутков:

Ответ: .

4. Решить уравнение:

Решение

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение

Положим , получим уравнение:

Ответ: .

5. Решить уравнение:

Решение

Для преобразования уравнения применим следующие тригонометрические формулы:

, откуда ;

а также .

Получим уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Ответ: .

Решение

1-й способ

Длина медианы треугольника, проведенной к стороне a определяется по формуле: , где .

Возведем обе части этого равенства в квадрат, получим:

Подставляя числовые значения, находим: см.

Площадь найдем по формуле Герона , где p - полупериметр, a, b, c - длины сторон треугольника.

см².

Ответ: .

2-й способ

Рис. 54

1. Пусть DM = x (см. рис. 55).

2. Из по теореме Пифагора , из по теореме Пифагора , из .

3. Получим систему уравнений, из которой найдем x, причем заметим, AM=MC.

Из второго уравнения выразим x и подставим в первое уравнение, получим:

4. Найдем высоту треугольника

5. Найдем площадь см².

Ответ: .

Решение

Пусть x тыс. руб. - первоначальный взнос каждого студента, y - число студентов в группе, тогда 170 < xy < 195.

(y - 2) - число студентов, которые участвовали в покупке, (x + 1) тыс. руб. - по столько пришлось уплатить каждому, чтобы купить магнитофон.

Получим уравнение: .

Из уравнения находим x: .

Подставим это значение в двойное неравенство: 170 < xy < 195, получим:

Это двойное неравенство равносильно системе неравенств:

В результате решения получаем: .

Первое двойное неравенство не удовлетворяет условию задачи, так как состоит из множества отрицательных чисел.

Таким образом, решениями системы будет множество: .

Так как y - натуральное число, то последней системе неравенств удовлетворяют два числа: 19 и 20. Все условия задачи выполняются лишь при y = 20, x = 9, поэтому xy = 180.

Ответ: 180 тыс. руб.

Вариант 15

1. Упростить:

2. Решить неравенство:

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Доказать тождество:

6. Угол при вершине сечения прямого кругового конуса равен , а его высота равна h. Определить радиус шара, вписанный в конус.

7. Найти размеры конической палатки данной вместимости, требующей наименьшее количество материала.

Решения

1. Упростить:

Решение

Выражение имеет смысл, если .

Ответ: 3, при .

2. Решить неравенство:

Решение

Найдем область допустимых значений. Трехчлены, находящиеся в знаменателях дробей не должны равняться нулю:

Преобразуем неравенство:

Это неравенство решим методом промежутков. Для этого определим те значения переменных, при которых каждый из линейных множителей обращаются в нуль, независимо от того, находится ли он в числителе или в знаменателе.

Эти значения следующие: .

Точки изображаем на числовой прямой и проводим с правого верхнего угла кривую через первую точку вниз, через вторую вверх и т. д. (см. рис. 55).

Рис. 55

При тех значениях x, где кривая находится выше оси OX, данная дробь положительна. Окончательно получаем.

Ответ: .

3. Решить уравнение:

Решение

1-й способ

Найдем область допустимых значений:

Преобразуем уравнение:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, но перед этим потребуем, чтобы . Откуда, учитывая область допустимых значений, находим: , что и подавно выполняется, так как область допустимых значений .

На этом множестве, возведем обе части уравнения в квадрат, получим: .

Это значение входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.

Ответ: .

2-й способ

Положим тогда получим

, вычитая из первого уравнения второе, находим:

Подставим в первоначальное уравнение, значения u и v, а также , приходим к уравнению:

Отсюда находим, что ,

, но это невозможно, так как область допустимых значений переменной x, .

, .

Ответ: .

4. Решить уравнение:

Решение

Найдем область допустимых значений:

Преобразуем уравнение:

. Это значение входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.

Проверка

При , .

Значит - корень уравнения.

Ответ: .

5. Доказать тождество:

Доказательство

Преобразуем левую часть тождества:

. Тождество доказано.

Решение

Рис. 56

Пусть сечение конуса является осевым. Тогда в сечении будет равнобедренный треугольник ASB (AS = BS). Высота конуса будет являться медианой и биссектрисой, значит - прямоугольный, в нем OS - гипотенуза, , где h - высота конуса, r - радиус вписанного шара (см. рис. 56).

Из

Ответ: .

7. Найти размеры конической палатки данной вместимости, требующей наименьшее количество материала.

Решение

1. Пусть V - вместимость палатки, т. е. ее объем. Пусть h - высота конической палатки, R - радиус основания, l - образующая конуса. Тогда объем конической палатки будет равен , а площадь ее боковой поверхности будет равна тогда .

2. Выразим из формулы объема радиус R и подставим его значение в формулу площади боковой поверхности:

3. Рассмотрим площадь боковой поверхности, как функцию от h, для h > 0 и найдем ее наименьшее значение на промежутке h > 0.

Найдем производную и критические точки:

Критические точки: - единственная критическая точка.

При , значит функция убывает.

При , значит функция возрастает.

В точке функция S_б, т. е. площадь боковой поверхности имеет наименьшее значение, а значит, материала на палатку пойдет меньше.

Радиус основания, в этом случае, будет равен:

Ответ: , .

Вариант 16

1. Упростить:

2. Решить уравнение:

3. Найти область определения функции:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Найти радиус шара вписанного в тетраэдр со стороной a.

7. На параболе найти точку, расстояние от которой до точки M(9; 3) будет наименьшим.

Решения

1. Упростить:

Решение

Выражение имеет смысл, если .

2. Решить уравнение:

Решение

Линейные функции, находящиеся под знаками модулей, меняют знак при переходе через точки, обращающие их в нуль, т. в точках x = 2 и x = 5 (см. рис. 57).

Рис. 57

Рассмотрим данное уравнение на каждом из полученных трех промежутков.

1. При уравнение примет вид: .

Решая его, находим: , значит, x = -5 является корнем уравнения.

2. При уравнение примет вид: .

Решая его, находим: и не является корнем уравнения.

3. При , уравнение примет вид: .

Решая его, находим: и не является корнем уравнения.

Ответ: .

3. Найти область определения функции:

Решение

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, значит . Выражение, находящееся под знаком логарифма должно быть положительным: .

Получим систему неравенств:

При переходе от логарифмов к выражениям, находящимся под знаками логарифмов, было использовано свойство логарифмической функции с основанием , которая является убывающей, а значит, большему значению логарифма соответствует меньшее значение функции, и наоборот, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.