Вступительного экзамена по математике 21.07.1997 г. 3 страница

Ответ: .

5. Решить уравнение:

Решение

Преобразуем уравнение:

Для дальнейшего решения применим формулу преобразования суммы синусов в произведение а также формулу преобразования разности .

Приходим к уравнению:

Косинус функция четная, значит, , тогда уравнение примет вид:

Получим совокупность двух уравнений: решая которые, находим:

Ответ:

6. Найти сторону тетраэдра, вписанного в шар радиуса R.

Решение

Рис. 9

1. Проведем высоту тетраэдра на основание ABC. Поскольку тетраэдр - правильная треугольная пирамида, тогда центр описанного шара будет находиться на высоте тетраэдра в точке O, DO = R - радиус описанного шара (см. рис. 9).

2. Проведем сечение шара плоскостью, проходящей через ребро тетраэдра AD и высоту перпендикулярно ребру BC. В результате, в сечении образуется круг радиуса R с центром в точке O, т. е. диаметральное сечение.

Точка лежит в плоскости основания и на окружности.

3. - равносторонний, R - радиус описанной около него окружности, тогда получим:

Ответ:

7. На кривой найдите точку, расстояние которой до прямой будет наименьшим.

Решение

Пусть - точка, принадлежащая кривой , значит, ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т. е. при подстановке в уравнение обращают его в числовое равенство

Пусть - точка, принадлежащая прямой , значит, .

Расстояние между этими двумя точками найдем по формуле:

Угловой коэффициент прямой (тангенс угла наклона к оси OX), проходящей через две точки и будет равен

Угловой коэффициент прямой , Так как прямые и перпендикулярны, тогда - по условию перпендикулярности прямых.

Отсюда следует, что

Подставим в эту формулу значения и получим:

Тогда Подставим значения и в формулу расстояния между двумя точками , получим:

при условии но это неравенство выполняется при всех действительных значениях x, поскольку этот квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, значит, .

Рассмотрим d как функцию от : и найдем ее наименьшее значение.

Производная этой функции равна:

Найдем критические точки:

Исследуем поведение функции в окрестности точки 1.

При , значит, функция на этом промежутке убывает.

При , значит, функция на этом промежутке возрастает.

В точке функция имеет минимум. Следовательно, наименьшее расстояние будет при ,

Ответ:

Вариант 3

1. Упростить:

2. Решить уравнение:

3. Найти область определения функции:

4. Решить уравнение: .

5. Решить уравнение:

6. Окружность проходит через вершины B, C, D трапеции ABCD и касается стороны AB в точке B. Найти длину диагонали BD, если длины оснований равны a и b.

7. Объем правильной треугольной призмы равен 16 дм³. Каковы должны быть основания и высота, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?

Решения

1. Упростить:

Решение

Наложим ограничения на величины a и b:

Ответ: 6b, при

2. Решить уравнение:

Решение

Положим отсюда получаем уравнение:

Мы получили линейное уравнение, содержащее модули. Найдем значения z, при которых каждый из модулей обращается в нуль. Это произойдет при z = -1 и Отметим эти точки на числовой прямой, получим три промежутка (рис. 10):

Рис. 10

Решим уравнение на каждом из этих промежутков.

1. При уравнение примет вид: - входит в промежуток и является корнем последнего линейного уравнения, содержащего модули.

2. При получим уравнение: - уравнение корней не имеет.

3. При получим уравнение: - входит в промежуток и является корнем последнего уравнения.

Таким образом, в результате решения линейного уравнения получены два корня и

Но один из них z = -6 не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем. Остается один корень

Тогда получим

Проверка

Ответ:

3. Найти область определения функции:

Решение

Получим систему неравенств

Логарифмическая функция с основанием является убывающей, значит, получим систему неравенств:

Первые два неравенства решим методом промежутков с учетом третьего неравенства и найдем общие решения системы (рис. 11):

Рис. 11

Система имеет решения:

Ответ:

4. Решить уравнение:

Решение

Преобразуем уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Проверка

При

- является корнем уравнения. При

- является корнем уравнения.

Ответ:

5. Решить уравнение:

Решение

Преобразуем уравнение:

Получим совокупность уравнений:

Ответ:

Решение

Рис. 12

1. AB - касательная к окружности в точке B, BC = a, AD = b, BD - диагональ.

Рассмотрим и в них - как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD (см. рис. 12).

в образован касательной AB и хордой BD, значит, он измеряется половиной дуги BED,

- является вписанным и также измеряется половиной дуги, на которую опирается, т. е. половиной дуги BED, Значит,

Отсюда следует, что подобен

2. Из подобия и следует, что

Ответ:

Решение

Рис. 13

1. Объем правильной треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту

2. Площадь полной поверхности призмы равна:

3. Выразим H из формулы объема:

4. Подставим это значение в формулу площади полной поверхности:

5. Рассмотрим площадь полной поверхности, как функцию от и найдем ее наименьшее значение.

Найдем критические точки:

- критическая точка.

При значит функция убывает.

При значит функция возрастает.

В точке функция имеет минимум, а значит площадь боковой поверхности будет наименьшей.

Ответ: дм, дм.

Вариант 4

1. Упростить:

2. Решить систему:

3. Найти область определения функции:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. В основании пирамиды лежит ромб. Высота пирамиды проходит через центр ромба. Боковые грани пирамиды образуют углы и с диагоналями ромба. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания.

7. Найти высоту конуса максимального объема, который можно вписать в шар радиуса R.

Решения

1. Упростить: .

Решение

Это выражение имеет смысл при a > 0, b > 0 и

Ответ: , при a > 0, b > 0 и

2. Решить систему:

Решение

Область допустимых значений переменных:

Преобразуем систему уравнений:

Положим тогда получим систему уравнений:

Получим совокупность двух систем уравнений

(1) и (2)

(1)

(2)

Проверка

значит, являются решениями данной системы уравнений.

Ответ:

3. Найти область определения функции:

Решение

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, значит, Поскольку, показательная функция принимает только положительные значения при всех значениях аргумента, тогда , следовательно, квадратный корень, в полученном неравенстве, будет определен при всех действительных значениях x.

В показателе степени находится дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю, значит,

Получаем систему неравенств:

Решим первое неравенство системы: Поскольку при всех тогда получим:

Но приходим к неравенству:

Так как показательная функция с основанием 3 > 1 является возрастающей, тогда находим

Найдем решения системы неравенств используя изображение промежутков на числовых прямых (рис. 14):