Исследование функции с помощью производной

Билеты к устному экзамену по высшей математике 2016

Производная и ее геометрический смысл.

Производной функции y = f (x) в точке х называется придел отношения приращения дельта у в точке х к приращению дельта х аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю

Геометрический смысл производной: Производная у’ при х=х0 равна угловому коэффициенту касательной,проведенной к графику данной функции в точке с абсциссой х=х0

Производная и ее механический смысл.

Пусть задан путь S = f (t) движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t: v (t)= s ’(t)

Производная и ее сумма функций.

Если в некоторой точке х функции f (x) и ф(х) имеют производные, то приозводная от суммы (разности) этих функций в точке х существует и равна сумме (разности) производных этих фунций.

4. Производная произведения двух функций  (формула + доказательство)

Производная произведения двух функций,каждая из которых имет производную, равна сумме произведения каждой функции на производную другой функции

(u(x)*v(x))’=u’(x)*v(x)+u(x)*v’(x)

(Дописать док-во)

Производная частного двух функций

Если в точке х функиции f (x) и ф(х) имеют производные, причем в точке х функция ф(х)=/=0, то частное этих функций имеет в точке х производную, которая вычесляется по формуле /страница 285 -9.7/

Производная сложной функции. Производная высших порядков.

Если в точке х функция ф(х) имеет производную ф’(х), а в точке и=ф(х) функция f (u) имеет производную f ’(u), то производная от сложной функции f (ф(х)) в точке х существует и равна f ’(u)ф'(х), где и= ф(х)

Производная n -го порядка от функции f (x) называется производная первого порядка от производной (n -1)го порядка,которая обозначается у^(n) или f ^(n) (x), или

d ^(n) f (x)/ dx ^ n,или с помощью римских цифр

Производная показательной степени, логарифмической функции (стр 288-289)

Производная тригонометрических функций (стр 290-291)

Дифференциал функции и его геометрический смысл

Дифференциалом или главной частью приращения функции y = f (x), в точке х, соответствующим приращению дельта х, называется произведение производной f '(x) вычисленной в точке х на дельта х. Дифференциал функции y = f (x) обозначается через dy или df (x). Таким образом dy = y ’дельта x или df (x)= f ’(x)дельта (х)

 /дописать геометрический смысл /

Исследование функции с помощью производной

1.находят область определения функции

2.устанавливают,является ли функция четной или нечетной или ни той,ни другой.

3.Исследуют функцию на периодичность

4.Исследуют функцию на непрерывность, находят точки разрыва

5.находят точки пересечения графика функции с осями координат

6.Проводят исследование функции на экстремум и находят интервалы возрастания и убывания

7.Находят точки перегиба кривой и интервалы выпуклости и вогнутости

8. Строят график в соответствии с пунктами 1-7.

       11. Неопределенный интеграл и его свойства

Множество первообразных для данной функции f(х) называется неопределенным интегралом и обозначается так:

 

При этом f(х) называется подинтегральнойфункцией,f(x)dx-подинтегральным выражением, х- переменная интегрирования, константа С –постоянная интегрирования.

Для получения неопределенного интеграла от данной функции f(x) необходимо найти одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную.

Для проверки правильности полученного результата необходимо помнить, что производная от результат интегрирования должна равняться подинтегральной функции.

Свойство 1:Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, а дифференциал –подинтегральному выражению

Свойство 2:Неопределенный интеграл от производной (дифференциала) функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной

 

 

Свойство 3: Если две функции или два дифференциала тождественны, то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Свойство 4: Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

 

 

Свойство 5:Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

 

 

      

       12.Определенный интеграл и его свойства. (стр 336)

 

Определенный интеграл - это число, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:. - это значение первообразной функции в точке, и, соответственно, - это значение первообразной функции в точке.

Определенный интеграл функции f(х), непрерывной на промежутке [ a, b], равен разности значений любой ее первообразной в точках bи a

 

 

Свойство 1: Определенный интеграл с одинаковыми приделами равен нулю

 

 

Свойство 2: При перемене местами верхнего и нижнего приделов интегрирования определенный интеграл меняет знак:

 

 

Свойство 3:Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла

 

 

Свойство 4: Для любого числа с определенный интеграл в пределах от aдо b можно вычислить как сумму двух определенных интегралов в пределах от a доc и отc доb т.е.

Свойство 5: Определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждого слагаемого:

 

Свойство 6:Если функция y=f(x) в промежутке [ a, b] и удовлетворяет в нем условию m ≤ f(x) ≤ M для a ≤ x ≤ b, то проинтегрировав это неравенство в приделах от aдо b, получим

 

       13. Определенный интеграл и его геометрический смысл (стр 337)

Определенный интеграл - это число, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:. - это значение первообразной функции в точке, и, соответственно, - это значение первообразной функции в точке.

Определенный интеграл функции f(х), непрерывной на промежутке [ a, b], равен разности значений любой ее первообразной в точках bи a

Площадь трапеции (aABb) равна сумме площадей трапеции (aAMc) и  (cMBb)

 

 

       14.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (стр367,369)

Дифференциальные уравнения это такие уравнения, которые наряду с искомой функцией y и независимой переменной х содержат только первую производную у’ искомой функции у

Функция f(x,y) называется однородной степени n относительно переменных х и у, если при любом значении h

 

 

Дифференциальное уравнение dy/dx=f(x,y) называется однородным, если его правая часть f(x,y) является однородной функцией нулевой степени

 

       15.Линейное однородное уравнение 2ого порядка с постоянными коэффициентами (стр 377-378)

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

 

Уравнение y ”+ py ’+ qy = f (x), где pпостоянные действительные числа, а f(x)- заданная непрерывная функция, названная линейным дифференциальным уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Если функция f(x) тождественно равна нулю, то уравнение принимает вид y ”+ py ’+ qy =0, и называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

       16.Дифференциальное уравнение в частных производных