Плоское напряженное состояние.

Выделим из тела в окрестности точки бесконечно малую треугольную призму, по основанию которой нормальные и касательные напряжения равны нулю.

Правило знаков любого σ  > 0, если нормальные напряжения направлены от площадки; t  > 0, если стремится вращать плоскость чертежа по ходу часовой стрелки; a > 0, если грань bc для совмещения с гранью ас нужно повернуть на острый угол против часовой стрелки.

Найдем равнодействующую силы приложенной к каждой грани призмы. Для этого нужно соответствующие напряжения умножить на площадь грани.

Fx = σ x · dy · dz   Fy = σ y · dx · dz   Fa = σ a · ds · dz   Tx = tx · dx · dz   Ty = ty · dy · dz   Ta = ta · ds · dz

Эти равнодействующие силы должны удовлетворять всем условиям равнодействия. Проведём оси U и V, и реализуем шесть условий равновесия.

åU =0 Ta + Fy ·cos a - Tx · sin a - Fx · sin a - Ty ·cos a

Ta + cos a (Fy - Ty) – sin a (Tx + Fx) (1)

åV = 0 Fa - Fx · cos a+ Ty · sin a - Fx ·cos a - Fy ·sin a

Fa -Fx + Tx ·cos a + (Ty – Fy ·sin a) = 0                              (2)

Сумма моментов относительно точки на оси å m₀ = 0

å m₀ = 0 Tx · dy/2 + Ty · dx/2 = 0                          (3)

Подставим значения Tx и Ty и разделим обе части на dx/2 · dy dz

t_x · dx/2 · dy dz + t_y · dx/2 · dy dz = 0

t_x + t_y = 0

t_x = - t_y    (4)

 Касательные напряжения по двум взаимно-перпендикулярным площадям равны по модулю обратны по знаку. Зависимость (4) называется законом парности касательных напряжений. Из (4) следует что касательные напряжения направлены или к вершине прямого угла или от него.

 Если подставить в зависимость (1) и (2) и заменить t_y на - t_ч, а также учесть, что dx/ds = sin a, а dy/ds =cos a, то после преобразований получим значения нормальных и касательных напряжений по площадке повернутой относительно площадки с σ_х и σ_y на угол a.

σ _a = σ _x · cos²a + σ _y · sin²a + tx · sin2a                 (5)

t_y = ((σ _x · σ _y)/2) sin2a - tx · cos2a               (6)

Если формулу (5) подставить в значение a и a ¹ 90°, то получим

σ _a + σ (a+90°) = σ _x + σ _y = const.                             (7)

Вывод: сумму нормальных напряжений по двум взаимно- перпендикулярным площадкам является величиной постоянной, значит если на первой площадке имеем max нормальных напряжений, то по перпендикулярной ей площадке будут σ min.

    Главные напряжения. Главные площади.

При инженерных расчетах нет необходимости в определении напряжений по всем площадкам проходящим через данную точку. Достаточно знать их экстремальные значения σ_max и σ_min, которые называются главными напряжениями, а площадки по которым они действуют называются главными площадками.

Чтобы получить экстремальное значение σ нужно первую производную от выражения (5) по углу a приравнять нулю.

 

                                     

Вывод: по главным площадкам касательные напряжения равны нулю.

 

tg2a₀ =                                      (8)

 

tg2a₀ =                                      (9)

 

Для определения положения главных площадок площадки по которым действуют σ_x и σ_y нужно повернуть на угол a₀ против хода часовой стрелки, если a₀ > 0.

Из формулы (8) 2a₀ изменяется от –90° до 90°, а значит - 45°£a₀ £45°, это значит, что поворот может быть на угол не более 45 °.

При определении главных напряжений значение a₀ из (8) можно подставить в (5) или пользоватся формулой полученной из зависимости (6) и (9).

   (10)

  Экстремальные касательные напряжения.

Площадки по которым действуют экстремальные касательные напряжения называют площадками сдвига.

Чтобы определить экстремальные касательные напряжения нужно, взяв первую производную от (6) по углу a приравнивая её к нулю.

;  ;

Разделим обе части уравнения на cos2a₁ получим:

    (σ_x - σ_y) + 2 t_x tg2a₁ = 0

    tg2a₁ =                                                 (11)

Угол наклона плоскости с экстремальным касательным напряжением к площадке с dх нужно повернуть против хода часовой стрелки на угол a_1.

Из формулы (11) можно получить a₁ и a₁+90, которые определяются двумя взаимно-перпендикулярными площадками. На одной из них будет действовать  t max, а по другой t_min. Но в соответствии с законами парности касательных напряжений t_max = - t_min.  Из сравнения (8) и (11) получим a₁ ¹ a₀+45°

Вывод: между главными площадками и площадками сдвига угол 45°

Подставив в формулу (6) σ_х = σ_max;   σ_y = σ_min; t_x = 0;   a₁ = + 45° получим

     = +                              (12)

подставим в (12) значение из (10) и после преобразований получим зависимость экстремальных касательных напряжений от напряжений по случайным площадям

     = + 1/2                                                             (13)

Круги Мора.

 

Пусть дано некоторое плоское напряженное состояние.

Построим для этого напряженного состояния круг Мора в системе прямоугольных координат.

Порядок действий:

1. по оси d отложим в максимальную величину dх

2. по оси t отложим значение ty

3. на пересечении получим точку А

4. аналогично отложим) dу и tх; точка А характеризует направление по вертикальным граням, точка В – по горизонтальным.

5. Соединим точки А и В и на пересечении с осью d получим точку О

6. Из точки О, как из центра круга проведем окружность

7. Определим радиус окружности из прямоугольного треугольника ОКВ

R =

На пересечении горизонтальных и вертикальных площадок с окружностью получим точку С, которую назовём полюсом.

Теперь можно определить направление на любой площадке, для этого нужно параллельно заданной площадке провести через полюс прямую до пересечения с окружностью.

Точка М будет иметь координаты da и ta. Можно решить и обратную задачу, т. е. по значениям da и ta определить угол a.

 

Лекция 5.