Пересечение поверхности плоскостью

Плоскость п е ресекает поверхность по плоской линии, вид которой зависит от формы поверхности. Линия пересечения плоскости с поверхностью многогранника – ломаная линия, с кривой поверхностью – обычно кривая линия.

1.16.1. Конические сечения

При пересечении конуса плоскостью получаются следующие плоские кривые:

1) окружность (рис. 82)или эллипс (рис. 83) – если плоскость пресекает все образующие;

Рис. 82

Рис. 83

2) парабола (рис. 84) – если плоскость параллельна одной образующей;

Рис. 84

3) гипербола (рис. 85) – если плоскость параллельна двум образующим;

Рис. 85

4) две образующие (рис. 86) – если плоскость проходит через вершину конуса.

Рис. 86

Пример. Построить линию пересечения наклонного конуса с плоскостью частного положения α(α₂) (рис. 87).

Рис. 87

Линией пересечения фронтально-проецирующей плоскости с поверхностью наклонного конуса будет эллипс, точки которого расположены на образующих конуса. Поскольку плоскость фронтально-проецирующая, фронтальные проекции точек пересечения располагаются на фронтальной проекции плоскости α₂. Точки А и В отмечаем на фронтальных проекциях очерковых образующих конуса. Отмечаем характерные точки С и D линии пересечения, находящиеся на горизонтальных проекциях образующих S 3 и S 4, в которых будет меняться видимость эллипса (рис. 88). Точка М выбрана произвольно.Построены ее проекции (рис. 89).

Рис. 88 Рис. 89

Построив горизонтальные проекции точек на соответствующих горизонтальных проекциях образующих, соединяем их с учетом видимости (рис. 90). Видимость меняется в точках С₁ и D ₁ на очерковых образующих конуса.

Рис. 90

1.16.2. Пересечение сферы плоскостью

Линия пересечения сферы с плоскостью представляет собой окружность.

Рис. 91

Если окружность находится в наклонной плоскости, то она проецируется в виде эллипса. На рис. 91 фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией плоскости α, а горизонтальная – эллипс. Построим его по точкам. Отмечаем характерные точки, находящиеся на экваторе и главном меридиане – А, В, С, D. Для нахождения других точек, например М и N, проводим по поверхности сферы линию а, горизонтальная проекция которой является окружностью и отмечаем на ней проекции этих точек. Аналогично строим точки K и L. Горизонтальные проекции полученных точек соединяем плавной линией с учетом видимости. Точки, находящиеся ниже экватора – А₁, K ₁, L ₁ не видимы относительно плоскости проекций П ₁. В точках C₁ и D ₁ на экваторе меняется видимость эллипса.

Пример. Построить линию пересечения сферы плоскостью ψ(a ∩ b) (рис. 92).

Рис. 92

Заданная плоскость является плоскостью общего положения.

Плоскость пересекает сферу по окружности,проекции которой в общем случае на ортогональном чертеже изобразятся эллипсами. Точки пересечения плоскости со сферой можно рассматривать как точки пересечения окружностей сферы с плоскостью. Для построенияя линии пересечения плоскости со сферой определим характерные точки.проекции которых лежат на очерках сферы.

Для нахождения точек А и В на экваторе сферы через экватор проводим вспомогательную горизонтальную плоскость α, которая пересечет заданную плоскость ψ(а ∩ b) по горизонтали 1-2. Взаимное пересечение горизонтальных проекций экватора и горизонтали 1-2 определяет горизонтальные проекции А ₁и В ₁точек А и В. Фронталные проекции этих точек отмечены в проекционной связи (рис. 93).

Для нахождения точек С и D на главном меридиане через него проводим вспомогательную фронтальную плоскость β, которая пересечет заданную плоскость ψ(а ∩ b) по фронтали 3-4. Взаимное пересечение фронтальных проекций главного меридиана и фронтали 3-4 определяет фронтальные проекции С₂ и D₂ точек C и D. Горизонтальные проекции этих точек отмечены в проекционной связи (рис. 94).

Для нахождения других точек проводится вспомогательная горизонтальная плоскость, например, γ. Плоскость γ пересекает поверхность сферы по окружности, а заданную плоскость ψ(а ∩ b) по горизонтали 5-6. Взаимное пересечение горизонтальных проекций этих линий определяет горизонтальные проекции точек M и N (рис. 95). Аналогично строим точки K и L.

Рис. 93 Рис. 94

Полученные точки А, В, С, D, M, N, K, L соединяем плавной кривой с учетом видимости. Горизонтальные проекции точек А и В отделяют видимую на П ₁ часть кривой от невидимой. Фронтальные проекции точек С и D отделяют видимую на П ₂ часть кривой от невидимой (рис. 96).

Рис. 95 Рис. 96

1.16.3. Пересечение цилиндра плоскостью

Линией пересечения поверхности цилиндра плоскостью может быть окружность, две образующие, эллипс.

Пример 1. Построить линию пересечения цилиндра плоскостью α(f ∩ h) (рис. 97).

Рис. 97

Линией пересечения прямой круговой цилиндрической поверхности плоскостью общего положения является эллипс. Данная цилиндрическая поверхность является горизонтально-проецирующей, так как ее образующие перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, линия пересечения, как принадлежащая такой поверхности, на горизонтальную плоскость проекций проецируется в виде очерка этой поверхности, т. е. в виде окружности. На фронтальную плоскость проекций линия пересечения проецируется в виде эллипса.

Точки эллипса построены по принадлежности их плоскости α(h ∩ f) при помощи фронталей. Фронтальные проекции точек С и K отделяют видимую часть эллипса от невидимой части (рис. 98).

Рис. 98

Пример 2. Построить линию пересечения наклонного цилиндра с фронтально-проецирующей плоскостью ψ(ψ₂) (рис. 99).

Рис. 99

Линией пересечения плоскости ψ с поверхностью цилиндра будет эллипс. Фронтальная проекция эллипса совпадает с фронтальной проекцией плоскости ψ₂.

Горизонтальную проекцию эллипса построим по точкам. Определяем проекции характерных точек, находящихся на очерковых образующих.

Это проекции точек А ', В ', С ', D ' (рис. 100). Затем отмечаем две произвольные точки 1 ' и 2 ', принадлежащие образующим цилиндра 1 и 2 и плоскости ψ, а также точки 3 и 4. Полученные точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. Точки 1'₁, 2'₁, В'₁, С'₁, D '₁ принадлежат видимым образующим, следовательно они видимы. На очерковых образующих в точках С'₁ и D '₁ меняется видимость, т. е. эллипс становится невидимым (рис. 101).

Рис. 100

Рис. 101

1.16.4. Пересечение пирамиды плоскостью

Линия пересечения поверхности многогранника плоскостью будет плоская ломаная линия,состоящая из звеньев прямых.

Пример 1. Построить линию пересечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью α(α₂) (рис. 102).

Рис. 102 Рис. 103

Фронтально-проецирующая плоскость пересекает основание пирамиды АВС в точках 3 и 4. Ребра SА и SB плоскость пересекает в точках 1 и 2 соответственно. Строим проекции точек 1, 2,3 и 4 и соединяем их горизонтальные проекции с учетом видимости. Грань ВSС невидима относительно плоскости проекций П ₁, следовательно, прямая 2₁ 3₁ невидима (рис. 103).

Пример 2. Построить линию пересечения пирамиды плоскостью α(f ∩ h) (рис. 104).

Рис. 104

Линией пересечения трехгранной пирамиды с плоскостью будет треугольник,точки которого принадлежат ребрам пирамиды. Поскольку ребро SA является профильной прямой задачу целесообразно решать при помощи дополнительного ортогонального проецирования.

Преобразуем плоскость α(h ∩ f) из общего положения в частное, для этого построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α на плоскость ей перпендикулярную. П₄^α и П₄^П₁(рис. 105). Проводим ось х ₁₄^ h ₁и строим дополнительную проекцию плоскости и пирамиды.

Рис. 105

На фронтали отмечаем произвольную точку 1, строим дополнительную проекцию 1₄, горизонталь спроецируется в точку. Плоскость спроецируется в прямую α₄. Строим также дополнительную ортогональную проекцию пирамиды. На пересечении с проекциями ребер пирамиды отмечаем дополнительные проекции точек М ₄, N _4, K ₄ (рис. 106).

Рис. 106

Затем находим горизонтальные и фронтальные проекции этих точек и соединяем их с учетом видимости (рис. 107). Грань АSC не видима относительно плоскости проекций П ₂, прямая K ₂ М₂ не видима.

Рис. 107