Реализация матричной формы вычисления перемещений

Вычисление перемещений т. K будем проводить в матричной форме, для чего применим соответствующую формулу Мора:

,

(2.5)

где – матрица-столбец искомых перемещений; – направляющая матрица, каждый столбец которой описывает одну направляющую эпюру, ссылаясь на ординаты контролируемых сечений (символ Т означает операцию транспонирования матрицы); – грузовая матрица-столбец, которая описывает грузовую эпюру; – матрица податливости (квадратная), описывающая жесткостные свойства каждого участка расчетной схемы между контролируемыми сечениями.

 

4.1. Разработка схемы дискретизации.

Формированию матриц предшествует составление схемы дискретизации ЗРС, которая включает нумерацию контролируемых сечений и правило знаков ординат для каждого участка ЗРС (рис. 2.30).

Контролируемые сечения назначаются по данным грузовой эпюры M (рис. 2.11) и направляющих эпюр (рис. 2.21), (рис. 2.25) и

Рис. 2.30

(рис. 2.29). Так, участки с законом изменения изгибающего момента M=const задаются одним сечением, участки с линейным законом изменения изгибающего момента задаются двумя неповторяющимися сечениями, а с параболическим – тремя. Кроме того, если в узле сходится несколько участков, то сечение каждого из них должно иметь свой собственный номер.

На рис. 2.30 участки пронумерованы римскими цифрами, а контролируемые сечения – латинскими. Правило знаков принято так, чтобы большинство значений было положительным.

 

 

Рис. 2.30

 

4.2. Матричная форма представления направляющих и грузовой эпюр.

Элементами направляющей матрицы являются ординаты на направляющих эпюрах изгибающих моментов. Причем первый столбец этой матрицы составляют ординаты, снятые с направляющей эпюры (рис. 2.21), второй столбец – ординаты, снятые с направляющей эпюры (рис. 2.25) и, наконец, третий столбец – ординаты, снятые с направляющей эпюры (рис. 2.29). Количество строк в матрице соответствует числу контролируемых сечений на схеме дискретизации. Таким образом, размер направляющей матрицы равен 10×3
(10 строк и 3 столбца).

Грузовая матрица формируется по тем же правилам, но ее элементы являются ординатами на грузовой эпюре изгибающих моментов. Размер этой матрицы 10×1.

; .

4.3. Построение матрицы податливости.

Формирование матрицы податливости осуществляется последовательностью чисто формальных приемов, поскольку для каждого участка на схеме дискретизации вид матрицы является предопределенным.

Формирование матрицы включает следующие шаги:

1) Составление матрицы для участка:

· с законом изменения изгибающего момента M=const по формуле

;

· с линейным законом изменения изгибающего момента по формуле

;

· с параболическим законом изменения изгибающего момента по формуле

,

 

где – длина участка; – модуль упругости материала (будем считать его одинаковым для всех участков, ); – момент инерции сечения.

ü В рассматриваемом примере выполнение этого шага дает следующие выражения для матриц участков:

; ; ;

; .

2) Определение наибольшего общего знаменателя для всех составленных матриц и приведение их к этому знаменателю.

ü В данном примере наибольшим общим знаменателем является значение , соответствующее матрицам и , составленным для горизонтальных участков ЗРС, на которых момент инерции равен (см. рис. 2.5).

Результат приведения всех матриц к наибольшему общему знаменателю выглядит следующим образом:

; ; ;

; .

3) Внесение коэффициента при а в числителе каждой матрицы под знак матрицы путем перемножения его с каждым элементом стандартной матрицы – для линейного участка или – для параболического (эта операция соответствует правилу умножения матрицы на скалярный множитель).

ü В результате выполнения этого шага для задачи примера получаем следующие выражения:

; ; ;

; .

Необходимо отметить, что получившиеся в итоге матрицы имеют общий множитель .

4) Составление матрицы податливости .

Полученные матрицы по порядку располагают на диагонали матрицы , а общий для всех матриц множитель является множителем при матрице .

ü Выполняя этот шаг, получаем матрицу податливости размером 10×10. Слева и сверху дана нумерация контролируемых сечений. Отсутствующие элементы матрицы имеют нулевые значения.

4.4. Приемы минимизации размеров матриц.

4.4.1. Способ вычеркивания в матрицах нулевых строк.

Внимательное рассмотрение направляющей и грузовой матриц показывает, что строка с номером 1 одновременно в обеих матрицах имеет нулевые значения. В таком случае эту строку можно вычеркнуть из сравниваемых матриц, а из матрицы податливости вычеркнуть не только строку с этим номером, но и соответствующий столбец. Такая операция позволяет уменьшить размеры матриц до соответственно 10×3, 10×1 и 10×10. В результате получаем:

; ;

4.4.2. Способ вычеркивания в матрицах одной из пары одинаковых строк.

Если продолжать сравнение строк направляющей и грузовой матриц, то можно обратить внимание, что в этих матрицах имеются пары строк, состоящие из одинаковых элементов, причем эти строки должны соответствовать смежным сечениям в ЗРС. Такими строками являются пары 5–6 и 8–9. В каждой паре одну из строк (например, строки 6 и 9) можно вычеркнуть из обеих матриц.

Но эти строки (и столбцы) нельзя вычеркивать из матрицы ! С этой матрицей поступают иначе: цифры, находящиеся на пересечении строк и столбцов с соответствующими номерами складывают, а результат размещают в строке с оставляемым номером (в примере – это 5 и 8), уменьшая тем самым размер и этой матрицы. На стр. 13 овалами выделены те элементы матрицы податливости, которые складываются при выполнении этой операции. Таким образом, минимальные размеры матриц становятся, соответственно 7×3, 7×1 и 7×7.

В результате уменьшения размеров матриц способом вычеркивания одной из пары одинаковых строк получаем:

; ;

 

.

 

4.5. Вычисление искомых перемещений точки K.

Формула (2.5) раскрывает матричную форму для вычисления искомых перемещений т. K. В соответствии с этой формулой для определения перемещений сечения K необходимо выполнить следующие шаги:

1) Записать направляющую матрицу в транспонированном виде .

Если элементы строк матрицы расставлены в столбцы, а элементы столбцов расставлены в строки, то полученная матрицаназывается транспонированной к и обозначается .

2) Умножить транспонированную направляющую матрицу на матрицу податливости .

3) Умножить полученную в предыдущем пункте матрицу на грузовую матрицу .

4) Записать полученные значения перемещений т. K (, , ).

; ; .

1.9167 0.8125 2.25

Здесь – перемещение т. K вдоль оси X; – перемещение т. K вдоль оси Y;
– угол поворота т. K относительно оси Z.

Итак, основная задача примера решена – мы располагаем значениями перемещений т. K оси заданной расчетной схемы. Положительные значения полученных перемещений означают то, что, задавая направляющие нагрузки в виде единичных сил, мы «угадали» истинное направление перемещений.