Виды симметрии периодических функций

Общие определения

Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для токов и напряжений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полезного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора является одним из показателей качества электрической энергии как товара.

Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и напряжений в сложной цепи:

1) наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры которых зависят от мгновенных значений тока и напряжения [ R, L, C=f (u,i)], (например, выпрямительные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.);

2) наличие в электрической цепи параметрических элементов, параметры которых изменяются во времени[ R, L, C=f (t)];

3) источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу конструктивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения;

4) влияние в комплексе перечисленных выше факторов.

Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных главах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электрических цепей при воздействии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой.

Разложение периодических несинусоидальных функций

В гармонический ряд Фурье

Из курса математики известно, что любая периодическая функция времени f (t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье:

Здесь А ₀ – постоянная составляющая, - k -я гармоническая составляющая или сокращенно k -я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - высшими.

Амплитуды отдельных гармоник А_к не зависят от способа разложения функции f (t) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат).

Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы синусной и косинусной составляющих:

Тогда весь ряд Фурье получит вид:

Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

Если k -ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить комплексными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно представить в комплексной форме:

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или может быть выражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам, известным из курса математики:

На практике исследуемая несинусоидальная функция f (t) обычно задается в виде графической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы координат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выполнить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математическим выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, получила название аппроксимации функции.

Т а б л и ц а 1

m					…	…	…	…	M
t_m	t ₀	t ₁	t ₂	t ₃	…	…	…	…	T
f_m	f ₀	f ₁	f ₂	f ₃	…	…	…	…	f ₀

В настоящее время гармонический анализ несинусоидальных функций времени f (t) выполняется, как правило, на ЭВМ. В простейшем случае для математического представления функции применяется кусочно-линейная аппроксимация. Для этого вся функция в интервале одного полного периода разбивается на M =20-30 участков так, чтобы отдельные участки были по возможности ближе к прямым линиям (рис. 1). На отдельных участках функция аппроксимируется уравнением прямой f_m (t) =a_m+b_m × _×t, где коэффициенты аппроксимации (a_m, b_m) определяются для каждого участка через координаты его конечных точек, например, для 1-го участка получим:

; .

Период функции Т разбивается на большое число шагов интегрирования N, шаг интегрирования , текущее время t_i=h × i, где i - порядковый номер шага интегрирования. Определенные интегралы в формулах гармонического анализа заменяются соответствующими суммами, их подсчет выполняется на ЭВМ по методу трапеций или прямоугольников, например:

Для определения амплитуд высших гармоник с достаточной точностью число шагов интегрирования должно составлять не менее 100 k, где k - номер гармоники.

В технике для выделения отдельных гармоник из несинусоидальных напряжений и токов применяют специальные приборы, называемые гармоническими анализаторами.

Виды симметрии периодических функций

Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидальных функций.

1) Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала координат и удовлетворяет условию (рис. 119).

Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечетных. В разложении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник B_k и отсутствуют постоянная составляющая A ₀и косинусные составляющие отдельных гармоник С_k:

При определении коэффициентов ряда Фурье нечетной функции интегрирование в формуле достаточно выполнить за половину периода T /2:

2) Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетворяет условию (рис. 3).

Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложении таких функций содержатся только постоянная составляющая А ₀ и косинусные составляющие отдельных гармоник C_k и отсутствуют синусные составляющие отдельных гармоник В_к:

При определении коэффициентов ряда Фурье четной функции интегрирование в формулах достаточно выполнить за половину периода:

2) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [ f (t)>0] или отрицательной части [ f (t)<0] на отрезок времени и удовлетворяет условию (рис. 121):

Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососимметричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармоники (синусные и косинусные составляющие):

Докажем это утверждение методом от обратного. Предположим, что кососимметричная функция содержит в разложении все члены ряда Фурье:

Добавим к аргументу функции T/2:

Равенство выполняется при условии A ₀=0, A ₂=0, A ₄=0,…, что требовалось доказать.

Коэффициенты ряда Фурье кососимметричной функции определяются по общим правилам.

Функция f (t) может обладать одновременно двумя видами симметрии, например, нечетной и косой или четной и косой, но не может быть одновременно нечетной и четной. При разложении конкретной функции в ряд Фурье начало отсчета следует выбрать так, чтобы получить желаемый вид симметрии функции.

Пример. Требуется разложить в ряд Фурье периодическую прямоугольную функцию и (рис. 122).

При выбранном начале отсчета (точка 0) функция будет обладать одновременно двумя видами симметрии (нечетной и косой) и ее гармонический состав будет иметь вид:

Коэффициенты ряда Фурье определяются по формуле для нечетной функции:

Тогда ряд Фурье исследуемой функции получит вид: