Приведём другое решение. Поскольку четырёхугольника ABCD выпуклый и ∠bca = ∠bda, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность

Поскольку четырёхугольника ABCD выпуклый и ∠ BCA = ∠ BDA, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда ∠ ABD = ∠ ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD.

Задание 25 № 315010. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Решение.

— параллелограмм, поэтому стороны и равны. Углы и равны, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, их гипотенузы равны и угол равен углу следовательно эти треугольники равны по гипотенузе и углу, значит, равны отрезки и и следовательно . Противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, следовательно этот четырёхугольник — параллелограмм.

Задание 26 № 339665. Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча если

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. По теореме о касательной и секущей:

Рассмотрим треугольник по теореме косинусов найдём сторону

Аналогично из треугольника найдём сторону

В треугольнике стороны и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный, откуда Из основного тригонометрического тождества найдём

Найдём искомый радиус окружности по теореме косинусов:

Ответ: 5,4.

Задание 26 № 339675. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB =60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение.

Рассмотрим треугольник сумма углов треугольника равна 180°: Углы и являются смежными, следовательно, откуда:

Пусть — радиус описанной окружности, угол обозначим как Рассмотрим треугольник он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:

Аналогично, из треугольника

Разделим на

Откуда:

Найдём

Таким образом, радиус описанной окружности равен:

Ответ:

Задание 25 № 315022. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение.

Треугольник — равнобедренный, следовательно, . Углы и — развёрнутые, поэтому:

Рассмотрим треугольники и следовательно, эти треугольники равны, а значит, то есть треугольник — равнобедренный

Задание 24 № 339709. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

Решение.

Проведём через точку пересечения биссектрис высоту. Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны, сторона — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично, равны треугольники H и откуда Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту:

Ответ: 266.

Задание 26 № 339451. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезки касательных, проведённые из одной точки равны, поэтому Следовательно, треугольники — равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины дуги, которую заключает. Значит, Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол

Аналогично, из треугольников и получаем,

Ответ: 24°; 104°; 52°.

Задание 26 № 339730. Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Решение.

Продлим стороны и до пересечения в точке В треугольнике сумма углов и равна 90°, следовательно, величина Значит, треугольник — прямоугольный. Рассмотрим треугольник он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка Значит,

Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен Аналогично, подобны треугольники и их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки и равны: Рассмотрим треугольник он прямоугольный, аналогично треугольнику точка — центр описанной окружности треугольника откуда Аналогично, в треугольнике —

Получаем: откуда Значит,

Отрезок — средняя линия трапеции, следовательно, откуда

Ответ: 1; 21.

Задание 25 № 314939. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC.

Решение.

Проведём высоту так, чтобы она проходила через точку Углы и равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки и . Таким образом,

Площадь параллелограмм равна а площадь треугольника

Задание 26 № 339825. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть — центр окружности, вписанной в треугольник Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Отрезки и равны как радиусы вписанной в треугольник окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы и равны, — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников и получаем а из равенства треугольников и — Площадь треугольника можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны, следовательно, треугольники и равны. Поэтому площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна:

Задание 26 № 339886. Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.

Решение.

ВВедём обозначения как показано на рисунке. Отрезок проходит через центр описанной окружности, следовательно, — диаметр. Углы и — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника Из прямоугольного треугольника Рассмотрим прямоугольный треугольник углы и равны, значит

Ответ: 45°.

Задание 9 № 339989. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠ B = 77°, ∠ D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведём диагональ BD. Рассмотрим треугольники ABD и BCD, AB равно BC, AD равно CD, BD — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда ∠ CBD = ∠ ABD = ∠ B /2 = 38,5° и ∠ CDB = ∠ ADB = ∠ D /2 = 70,5°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда ∠ A = 180° − ∠ ABD − ∠ ADB = 180° − 38,5° − 70,5° = 71°.

Задание 26 № 340054. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:

Следовательно, Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно равно следовательно, треугольники равны, откуда Прямые и перпендикулярны прямой поэтому они параллельны, равно , следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда Рассмотрим выражение для отрезка

Получаем систему уравнений на отрезки и

Рассмотрим треугольники и углы CAD и BAC равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:

Высота Значит, искомое расстояние

Задание 25 № 340055. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Решение.

Проведём высоты и они равны. Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Поскольку высоты и равны, равны и площади треугольников и Покажем, что площади треугольников и равны:

Задание 26 № 340107. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

Решение.

Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность. Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противоположных углов равны 180°:

Отрезки и равны как радиусы окружности, поэтому треугольники и — равнобедренные, откуда и Рассмотрим треугольник сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда По теореме синусов найдём сторону из треугольника

Сторона — диаметр описанной окружности, поэтому

Задание 26 № 340129. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.

Решение.

Проведём построения как показано на рисунке. Расстояние от точки до прямой — отрезок Продолжим стороны и до пересечения в точке проведём отрезок параллельный Рассмотрим четырёхугольник прямая параллельна прямая параллельна прямой угол — прямой, следовательно, — прямоугольник. Откуда Значит, Из прямоугольного треугольника Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны:

По теореме о касательной и секущей:

Откуда Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, углы и равны, а значит, Найдём из прямоугольного треугольника

Задание 26 № 340133. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение.

Проведём построения как показано на рисунке. Угол — вписанный и опирается на диаметр, значит, угол — прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:

Угол — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда

Подставляя выше найденное равенство:

Задание 26 № 314866. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Решение.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:

Откуда Выразим площадь треугольника

Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

Задание 26 № 314867. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть точка — середина стороны Поскольку то треугольник — равнобдеренный. Угол при вершине этого треугольника равен 60°, следовательно углы при основании равны значит, треугольник — равносторонний. Угол равен Аналогично получаем, что треугольник — равносторонний. Yfql`v угол Аналогично двум предыдущим треугольникам получаем, что треугольник — равносторонний. Получили, что площадь трапеции равна сумме площадей трёх равных равносторонних треугольников:

Задание 11 № 340197. В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

Решение.

Проведём высоту Средняя линия равна полусумме оснований: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Поскольку — средняя линия, поэтому Отрезки и равны, по теореме Фаллеса получаем, что Найдём площадь трапеции

Задание 26 № 340237. На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол равен половине дуги Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол равен половине дуги Следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и углы и равны, угол — общий, значит, треугольники подобны. Откуда Значит, и Таким образом

Ответ: 15.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние. По­сколь­ку четырёхуголь­ни­ка ABCD вы­пук­лый и ∠bca = ∠bda, по­лу­ча­ем, что около четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность

Приведём другое решение. Поскольку четырёхугольника ABCD выпуклый и ∠bca = ∠bda, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность