Приведём другое решение.

Решение.

Угол равен половине дуги на которую он опирается, поскольку это угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведённой через точку касания. Угол — вписанный, поэтому он также равен половине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: Получаем:

Найдём

Задание 24 № 314809. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны, и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

Решение.

Рассмотрим подобные треугольники и и установим соответствие между их углами. Против большей стороны всегда лежит больший угол, в треугольнике это угол в треугольнике , в свою очередь, есть тупой угол и он является наибольшим, значит Угол заведомо не может быть равен углу так как он составляет только его часть. Следовательно угол равен углу

Найдём косинус угла KAC используя теорему косинусов:

Задание 26 № 339373. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Поскольку и получаем, что — параллелолограмм, следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны как соответственные при параллельных прямых, углы и — аналогично, следовательно, треугольники и подобны по трём углам. Откуда Аналогично подобны треугольники и откуда Пусть сторона ромба равна а длина короткой диагонали равна Сложим два полученных уравнения:

Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма:

Ответ:

Задание 26 № 314831. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

Решение.

Проведём отрезок параллельный вспомним, что точка — середина следовательно, — средняя линия треуольника значит Аналогично — средняя линия треугольника то есть

Пусть площадь треугольника равна Рассмотрим треугольник он имеет общую высоту с треугольником и вдвое большее основание, следовательно его площадь равна Площадь треугольника равна и такую же площадь имеет треугольник поскольку они имеют одну высоту, проведённую из вершины и равные основания. Аналогично площадь треугольника равна площади треугольника а площадь треугольника равна площади треугольника

Подведём итог:

Отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

Задание 26 № 339398. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой в точке Углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, следовательно, треугольник — равнобедренный: Найдём Углы и равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники и стороны и равны, углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда Проведём прямую параллельную Прямая параллельна прямая параллельна следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, откуда Найдём Рассмотрим треугольник заметим, что

Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник — прямоугольный, следовательно, — высота трапеции. Найдём площадь трапеции:

Задание 26 № 339402. На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 27, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых и — точка пересечения высот Продолжим высоту до пересечения с окружностью в точке Получаем, что По теореме о секущих получаем, что Треугольники и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

Задание 24 № 339395. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.

Решение.

Угол — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диаметр окружности и

Задание 26 № 314823. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 6. Окружность радиуса 4,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Введём обозначения, приведённые на рисунке. Лучи и — соответственно биссектрисы углов и , поскольку эти лучи проходят через центры вписанных окружностей. — середина основания следовательно Углы и равны друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и — они прямоугольные и имеют равные углы и , следовательно эти треугольники подобны:

Отсюда следует, что радиус вписаной окружности:

Задание 26 № 339435. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.

Пусть — точка пересечения отрезков и (см. рис.). Треугольник — равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому

; .

По свойству биссектрисы треугольника

Проведём через вершину прямую, параллельную . Пусть — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы . Тогда

Из подобия треугольников и следует, что Поэтому и Следовательно,

;

Ответ:

Приведём другое решение.

Треугольники и равны: они прямоугольные, углы и равны, сторона — общая. Тогда и Заметим далее, что а тогда Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на от-резки пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому откуда Найдём и

Треугольники и равны: углы и равны, — общая сторона, поэтому Медиана тре-угольника делит его на два равновеликих, поэтому справедливо равенство: Тем самым, Наконец, площадь треугольника равна половине площади треугольника откуда

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения длин диаго-налей на синус угла между ними, поэтому:

Тогда: С другой стороны, откуда

Длину найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника

Значит,

Длину найдём по теореме Пифагора из прямоугольного тре-угольника тогда:

Поэтому

Задание 10 № 324868. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Решение.

Пусть первая дуга имеет градусную меру тогда вторая дуга имеет градусную меру а третья — Три дуги в сумме составляют окружность, поэтому получаем:

Поэтому меньшая дуга окружности равна Угол треугольника, опирающийся на эту дугу является вписанным, поэтому он равен половине дуги: Меньший угол треугольника лежит против меньшей стороны. Найдём радиус описанной окружности:

Задание 24 № 339461. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7,5, а AB = 2.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Радиус окружности, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому треугольник — прямоугольный. Найдём по теореме Пифагора:

Следовательно, длина стороны равна

Задание 26 № 314847. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — он равнобедренный, следовательно, . Аналогично в треугольнике имеем: Теперь рассмотрим треугольник : сумма его углов равна 180°, поэтому

Поскольку кроме этого имеем:

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют общий катет и равно следовательно, эти треугольники равны, а значит, .

Точка отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника, , следовательно, точка — центр окружности, описанной около треугольника . Радиус описанной окружности

Задание 10 № 339483. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник — равнобедренный, следовательно, Угол — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно,

Ответ: 3.

Задание 24 № 339487. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.

Решение.

Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Используя равенство найдём

Ответ: 15.

Задание 26 № 130. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Решение.

Угол BAC равен углу BCP так как и . Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: Тогда а гипотенуза по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Таким образом, а Так как то а по теореме Пифагора.

В треугольнике площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Ответ:

Задание 26 № 339514. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Решение.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:

Откуда Выразим площадь треугольника

Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

Задание 25 № 339609. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Решение.

В задаче возможны два случая.

Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Рассмотрим треугольники OBH и BOK Рассмотрим треугольники OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда OH = OK. Аналогично из треугольников KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.

Второй случай, AD — одна из боковых сторон. Несмотря на другую геометрическую конфигурацию, доказательство полностью повторяет доказательство для первого случая.

Задание 26 № 315009. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 4. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть длина стороны равна тогда длина стороны — а стороны — Проведём высоты и в трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник и найдём из него отрезок

Рассмотрим четырёхугольник равно и прямая параллельна поскольку обе эти прямые перпендикулярны прямой следовательно — параллелограмм, значит, и Найдём отрезок

Рассмотрим треугольники и — они прямоугольные, , следовательно эти треугольники равны, значит,

Найдём высоту из треугольника

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Ответ:

Задание 24 № 339619. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Решение.

Пусть — длина средней линии. Проведём высоту и проведём прямую параллельную Рассмотрим четырёхугольник следовательно, — параллелограмм, откуда Рассмотрим треугольник Пусть — полупериметр треугольника Найдём площадь треугольника по формуле Герона:

Выразим площадь треугольника как произведение основания на высоту откуда найдём

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму длин оснований:

Ответ: 42.

Задание 25 № 339625. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и углы и равны по условию, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны. Откуда Равенство можно представить в виде Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные и имеется равенство следовательно, треугольники подобны. Поэтому углы и равны.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Приведём другое решение.