Розділ 3. Незбурений рух ШСЗ.

Рух в навколоземному просторі визначається рядом факторів, до яких відноситься притягання Землі (геопотенціал), Місяця, Сонця та інших планет сонячної системи, атмосферне гальмування, світовий рух, дія магнітного поля Землі та ін. З перерахованих факторів притягання Землі є головним, а всі інші мають другорядний характер.

Якщо припустити, що Земля є строго сферичною з рівномірним розподіленням щільності, тоді її потенціал співпадав би з потенціалом матеріальної точки, маса якої дорівнює масі Землі. Тоді при відсутності вище перерахованих факторів ШСЗ рухався б строго за законами Кеплера.

Рух, що підкоряється законам Кеплера називається незбуреним.

Закони Кеплера визначають рух ШСЗ і формуються наступним чином:

- орбітою супутника є еліпс, в фокусі якого знаходиться центр мас Землі;

- секторальна швидкість супутника постійна, т.б радіус – вектор супутника в рівні проміжки часу рівні площі;

- відношення квадрату періоду обертання супутника до кубу великої півосі його орбіти є величина постійна.

Для введення рівнянь, що характеризують незбурений рух ШСЗ введемо геоцентричну інерціальну систему координат. Нехтуючи дією ШСЗ на Землю, так як маса Землі (М) значно більше маси ШСЗ (m), розглянемо прискорення ω, що задається Землею супутника внаслідок закону тяжіння (мал..6)

Мал..6 Взаємне розміщення 2-х матеріальних точок в інерціальній системі координат

По другому закону Ньютона будемо мати

(3.1)

де сила F у відповідності із законом тяжіння, дорівнює

(3.2)

де f – стала тяжіння, r – геоцентричний радіус – вектор ШСЗ. Прирівнюючи вирази (3.1) і (3.2) отримаємо

(3.3)

Для того, щоб знайти прискорення ШСЗ, вздовж осей x, y, z, яке позначимо через (похідні по часу), необхідно праву частину виразу (3.3)послідовно помножити на направляючі косинуси радіуса – вектора r відносно осей x, y, z. Ці направляючі косинуси відповідно дорівнюють , , . Таким чином отримують диференційні рівняння незбуреного руху:

(3.4)

де - гравітаційний параметр.

Інтегрування системи рівнянь другого порядку (3.4) дає 6 сталих інтегрування: сталі площ С1, С2, С3; сталу енергії h, початкову фазу φ 0 і момент проходження через пери центр τ.

Зазвичай замість перерахованих сталих інтегрування використовують однозначно пов’язані з ними величини – так звані елементи орбіти.

Незбурений рух ШСЗ по орбіті характеризується наступними її елементами: великою піввіссю а (визначає розмір орбіти); її ексцентриситет е (визначає форму орбіти); кутом нахилу і площини орбіти до площини земного екватора і довготою висхідного вузла (визначають орієнтацію площини орбіти в просторі); аргументом пери центру і часом проходження ШСЗ через перицентр або істинною аномалією υ (визначають положення ШСЗ на орбіті) мал..7

Мал..7 Елементи орбіти

Найближча до Землі точка орбіти ШСЗ називається перицентром П, найбільш віддалена – апоцентром А.

Обидві точки – перицентр і апоцентр називаються апсидами, а лінія, що їх з’єднує, називається лінією апсид.

Точка , в якій орбіта ШСЗ перетинає площину екватор при переході ШСЗ з південної півсфери в північну, називається висхідним вузлом орбіти. Точка , в якій орбіта ШСЗ перетинає площину екватора при переході з північної півсфери в південну, називається спадним вузлом орбіти. Лінія, що з’єднує обидва вузла називається лінією вузлів. Кут між напрямком в точку весняного рівнодення і лінією вузлів називається довготою висхідного вузла - .

Кут між площиною орбіти і екваторіальною площиною називається нахилом орбіти - .

Кут між лінією вузлів та лінією апсид називається аргументом перицентру - .

Кут між радіусом – вектором ШСЗ і лінією апсид називається істинною аномалією. Іноді для характеристики орбіти використовують двогранний кут , що називається аргументом широти.

Для характеристики площини ШСЗ на орбіті використовують так звану середню аномалію М. Середня аномалія М визначається, як кут укладений між лінією апсид і напрямом в точку очікуваного положення ШСЗ на круговій орбіті, радіус якої дорівнює великій півосі. При цьому вважають, що рух ШСЗ відбувається з постійною середньою швидкістю („середнім рухом”), що дорівнює n = 360º/Т, де Т – період обертання ШСЗ. Таким чином, для кожного моменту часу t

М = n(t – Т) (3.5)

Якщо відомі елементи орбіти і радіус – вектор супутника в заданий момент часу t, якому відповідає значення істинної аномалії υ, то прямокутні координати визначаються за формулами:

;

; (3.6)

Радіус – вектор ШСЗ може бути визначений із інтеграла орбіти за формулою

(3.7)

де р – фокальний параметр, або

(3.8)

де Е – ексцентрична аномалія.

Алгоритм обчислення координат супутника і компонентів швидкості, елементи орбіти ШСЗ на деякий момент часу t, полягає в наступному:

1. Обчислення середньої аномалії М за формулою

(3.9)

2. Обчислення ексцентричної аномалії шляхом рішення рівняння Кеплера

(3.10)

3. Обчислення істинної аномалії за формулою

(3.11)

4. Обчислення геоцентричного радіуса – вектора ШСЗ

(3.12)

5. Обчислення геоцентричних прямокутних координат за формулами (3.6).

Задача обчислення координат супутника і компонентів швидкості на деякий момент часу t по заданим елементам орбіти , , , , , в небесній механіці вирішується в більшості випадків як частина загальної задачі обчислення ефемериди ШСЗ, під якою розуміють таблицю значень видимих координат небесного тіла на задані моменти часу. В цьому випадку, окрім елементів орбіти і моменту часу зазвичай задають ще і геодезичні координати пункту земної поверхні X, Y, Z. Для даного пункту на заданий момент часу обчислюють геоцентричні координати x, y, z і геоцентричний радіус – вектор r ШСЗ за формулами (3.6) – (3.12). потім знаходять топоцентричні прямокутні координати супутника:

х' = х – Х

у' = у – У (3.13)

z' = z – Z

Топоцентричні координати і топоцентричний радіус – вектор ШСЗ

, , (3.14)

Це вирішення прямої задачі.

Перейдемо тепер до розгляду оберненої задачі – обчислення елементів орбіти із спостережень.

При спостереженнях ШСЗ можуть бути виміряні наступні величини: топоцентричні напрями на супутник , ; топоцентричні відстані до супутника , одночасно напрями і відстані.

Тоді з вирішення прямокутного сферичного трикутника „вузол орбіти – ШСЗ – проекція ШСЗ на екватор” (мал..8) знаходять:

Мал.8. Зв’язок елементів орбіти ШСЗ з і .

1. Довготу висхідного вузла

(3.15)

2. Нахил орбіти

(3.16)

3. Аргумент широти

(3.17)

4. Фокальний параметр

(3.18)

5. Істинну аномалію

, (3.19)

6. Велику піввісь, ексцентриситет і середній рух

, , (3.20)

7. Аргумент перицентра

(3.21)

8. Ексцентрична аномалію

(3.22)

9. Момент проходження через пери центр

(3.23)

Лабораторна робота № 4. Обчислення елементів незбуреної орбіти ШСЗ.

Припускаючи, що з фотографічних та лазерних спостережень отримані компоненти трьох топоцентричних радіусів – векторів ШСЗ. По цим вихідним даним знаходять геоцентричні радіус – вектори ШСЗ (такий перехід для одного з визначень виконані в лабораторній роботі № 1.). Потім одне зі спостережень стає не потрібним і зазвичай відкидається друге спостереження, залишаючи перше і третє. Цим спостереженням присвоюють індекси 1 і 2.

Вихідні дані , , в момент часу (ці значення вибираються з рішення лабораторної роботи № 1); = + 200км + N (км), = + , = + 10º00'00˝ + в момент часу = + , де N – номер варіанту.

Знайти елементи незбуреного руху ШСЗ за формулами (3.15)- (3.23).

Примітка. Для виразів, де є індекси 1 і 2, формулу з індексом 2 слід використовувати для контролю .

Лабораторна робота № 5. Обчислення незбуреної ефемериди ШСЗ.

Вихідні дані: 1. Елементи орбіти (з лабораторної роботи № 4);

2. Координати деякого пункту на земній поверхні в геоцентричній інерціональній системі координат (з лабораторної роботи № 1);

3. Момент часу в системі всесвітнього часу, момент проходження через перицентр

Знайти: топоцентричні , , на момент всесвітнього часу t.

Примітка. Для знаходження ексцентричної аномалії рівняння Кеплера вирішується методом послідовних наближень. Якщо заданий момент часу t, а також і , то за формулою (3.9) знаходять середню аномалію М, а потім припускаючи, що Е0 = М знаходять ексцентричну аномалію.