Теорема 8. (Больцано–Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення. Розглянемо множину значень послідовності . Ця множина обмежена, тому вона має точну верхню і нижню межі. Для визначеності вважатимемо, що послідовність х_n монотонно зростає.

Позначимо і доведемо, що При всіх n за умовою теореми виконується нерівність Візьмемо довільне За означенням точної верхньої межі можна знайти значення , таке що . Оскільки послідовність монотонно зростає, то при маємо

Із нерівностей випливає: і

Це означає, що ¨

4.1.5. Число е

Розглянемо послідовність чисел . Обчислимо кілька перших значень членів послідовності:

Доведемо, що послідовність х_n монотонно зростає. За формулою бінома Ньютона маємо:

(3)

Замінимо в цьому розкладі n на n + 1. Тоді число доданків збільшиться на одиницю.

Далі маємо:

Кожний вираз, що містить n, зростає, тобто .

Доведемо обмеженість послідовності х_n.

У формулі (3) значення кожного виразу в дужках менше від одиниці. Отже,

За формулою суми геометричної прогресії маємо:

Звідси

За теоремою Больцано–Вейєрштрасса послідовність має границю.

Означення. Границя послідовності називається числом е.

Позначення:

Число е* — (так зване Неперове число).

4.1.6. Наближене обчислення числа е

У виразі (3) з підрозд. 4.1.5 спрямувавши n до нескінченності, дістанемо:

Обчислимо значення е з точністю до 5 знаків після коми:

4.1.7. Економічна інтерпретація числа е

Початковий вклад у банк становив S ₀ гривень. Банк виплачує р % річних. Знайти розмір вкладу S_t через t років.

· Очевидно, що при р % річних розмір вкладу щороку збільшуватиметься в , тобто

Якщо нараховувати відсотки (проценти) за вкладами не один, а n раз на рік, то за того самого приросту р %, за частину року буде нараховано , а розмір вкладу за t років у разі nt нарахувань досягне

.

Вважаючи, що проценти за вкладом нараховуються кожні півроку (n = 2), щомісяця (), щодня (), щогодини () і т. д. безперервно (). Тоді

або

У практичних фінансово-кредитних операціях неперервне нарахування процентів застосовується рідко. Воно є ефективним для аналізу складних фінансових проблем, зокрема в разі обгрунтовування й вибору інвестиційних рішень.

4.1.8. Лема про вкладені відрізки

Розглянемо послідовність відрізків [ a_n, b_n ], таких що кожний з наступних лежить у попередньому: (рис. 4.2). Послідовність таких відрізків називається послідовністю вкладених відрізків.

Рис. 4.2

Лема. Для послідовності вкладених відрізків [ a_n, b_n ] за умови існує єдина точка с, яка належить усім відрізкам, і при цьому

.

Доведення. Розглянемо послідовність значень а_n. Вона монотонно зростає і обмежена зверху. За теоремою Больцано—Вейєрштрасса існує границя , причому завжди виконується умова . Припущення, що приведе до суперечності. Справді, якщо , то починаючи з деякого номера b_n < a_n. Це суперечить тому, що a_n — лівий кінець відрізка, b_n — правий.

За припущення виконується нерівність .

Додаючи нерівності і , дістаємо:

або

.

Це суперечить умові . Припущення неправильне. Отже, с ₁ = с. Водночас доведено, що і . Точка с належить всім відрізкам, причому вона єдина.¨

4.1.9. Частинні послідовності

Розглянемо послідовність х_n і вилучимо з неї деякі члени. Члени, що залишилися, занумеруємо наново . Нова послідовність називається частинною послідовністю, або підпослідовністю.

Розглянемо послідовність

.

У цій послідовності можна розглянути частинні послідовності: