Теорема. У будь-якої обмеженої множини існують точні верхня та нижня межі.

Послідовності

4.1.1. Основні означення

Означення. Якщо задана закономірність, згідно з якою кож­ному натуральному числу 1, 2, 3, …, відповідає деяке дійсне число, то говорять, що задано послідовність.

Послідовність можна розглядати як функцію, областю визна­чення якої є множина натуральних чисел.

Послідовність визначається формулою, тобто законом, згідно з яким установлюється спосіб відповідності заданих чисел послідовним натуральним числам. Послідовність із загальним членом а_n позначається , або просто а_n.

У прикладі: .

Інший спосіб визначення послідовності полягає в застосуванні рекурсії: n -й член послідовності визначається за допомогою заданих попередніх членів послідовності.

Рекурсія визначає послідовність
0, 3, 6, 9, ….

Рекурсія визначає послідовність 1, 2, 5, 27, 734, ….

Приклади послідовностей.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

4.1.2. Обмежені та монотонні послідовності

Означення. Послідовність називається обмеженою, коли існує таке додатне число М, що нерівність

виконується для всіх n.

Означення. Послідовність називається монотонно зростаючою (спадною), якщо

для всіх n.

Визначити, які з наведених далі послідовностей обмежені, а які монотонні.

1) 3)

2) 4) .

· За означенням відповідно обмеженої та монотонної послідовності маємо:

1) — обмежена послідовність;

монотонна спадна послідовність;

2) — необмежена послідовність;

3) — обмежена послідовність;

— монотонно спадна послідовність;

4) — послідовність обмежена;

, оскільки

— послідовність монотонно зростаюча. ·

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою зверху, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n, не обмежена зверху або знизу, називається необмеженою.

Послідовність , для якої

обмежена зверху та знизу: .

Послідовність , тобто

обмежена зверху, але не обмежена знизу.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою зверху, якщо існує число т, таке що для всіх виконується нерівність . Число т називається верхньою межею множини.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що для всіх, виконується нерівність . Число m називається нижньою межею множини.

Множина, для якої існують верхня та нижня межі, називається обмеженою.

Найменша серед верхніх меж називається супремумом і позначається . Найбільша серед нижніх меж називається інфімумом і позначається .

Означення. Точною верхньою межею множини Х називається значення , таке що:

1) для будь-якого виконується нерівність ;

2) для будь-якого знайдеться значення , таке що

.

Аналогічно означується точна нижня межа множини Х.

Теорема. У будь-якої обмеженої множини існують точні верхня та нижня межі.

4.1.3. Збіжні та розбіжні послідовності

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для кожного як завгодно малого додатного числа існує таке число , що

для всіх .

Позначення: .

Графічна ілюстрація

Рис. 4.1

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною.

Послідовність — збіжна, оскільки існує (за означенням для будь-якого ).

Зауваження. Послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нульовою послідовністю.

Послідовність розбіжна, оскільки не має границі. Вона почергово набуває значення + 1 і – 1.

4.1.4. Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. Границя сталої дорівнює цій сталій:

.

Доведення. Справді, для всіх n, тому

. ¨