Основное уравнение динамики вращающегося твердого тела.

Вопрос 12

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела, закрепленного в точке. Прецессия, гироскопы.

Кинетическая энергия – энергия механической силы, зависящая от скоростей движения её точек.

Кинетическая энергия вращательного движения – энергия тела, связанная с его вращением. Основные кинематические характеристики вращательного движения тела: угловая скорость, угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения – момент импульса относительно оси вращения Z (где I_z – момент инерции тела относительно оси вращения).

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находиться по формуле (где I – тензор инерции):

Процессия – явление, при котором момент импульса тела меняет своё направление в пространстве под действием момента внешней силы.

Гироскоп – устройство, способное реагировать на изменение углов ориентации связанного с ним тела относительно инерциальной системы координат, как правило, основанное на законе сохранения вращательного момента (импульса).

Процессия гироскопа. Наблюдать процессию достаточно просто. Нужно запустить волчок и подождать, пока он начнем замедляться. Первоначально ось вращения волчка – вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть процессия оси волчка.

Главное свойства процессии – безынерционность (не сохраняется в состоянии покоя).

Вопрос 13

Скатывание с горки двух цилиндров, пустого и сплошного.

У тонкого тонкостенного цилиндра радиуса R и массы m, на оси цилиндра момент инерции будет I = mR². У сплошного цилиндра радиуса R и массы m, на оси момент инерции будет I = mR² / 2. То есть в 2 раза меньше. В свою очередь полная кинетическая энергия тел есть:

И равная mgh, учтем также, что w = v / R, то

Вопрос 14

Кинематическое описание движения жидкости. Уравнение движения и равновесия жидкости. Идеальная жидкость.

Течение – движение жидкостей.

Поток – совокупность частиц, движущуюся жидкости.

Линия тока - линия, проведенная так, что касательная к ней совпадает по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства.

Трубка потока – часть жидкости, ограниченная линиями потока.

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что , где — плотность жидкости в данной точке, получим:

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

Идеальная жидкость - это жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

Вопрос 15

Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

Течение жидкости называется стационарным, если форма и расположение линии тока, а так же скорости в каждой точке жидкости, со временем не изменяются.

Рассмотрим несжимаемую жидкость:, s₁v₁ = s₂v_2. Это соотношение справедливо для любых сечений трубки, следовательно,

sv = const физический смысл произведения sv -объем жидкости, проходящей через сечение s за 1 с.

Идеальная жидкость - это жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения. В момент времени t жидкость заполняла участок ограниченный S₁ и S₂,

а в момент времени, она занимает объём и. В силу неразрывности струи заштрихованные объёмы будут иметь одинаковую величину.

По закону сохранения энергии:;

v₁²/2 + gh₁ + p₁ = v₂²/2 + gh₂ + p₂; или rv²/2 + rgh + p = const - уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли есть выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.

Величину р называют статистическим давлением, величину v²/2 называют динамическим давлением, а величина gh является гидростатическим давлением.

Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли имеет вид rv²/2 + p = const, где величина rv²/2 + p называется полным давлением. Из последнего уравнения и уравнения неразрывности следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубке, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах.

Если жидкость неподвижна v = 0, то p₁ и p₂ = const и полное давление определяется гидростатическим и статическим давлением.

Вопрос 16

Вязкая жидкость. Формула Стокса. Турбулентное и ламинарное течение. Число Рейнольдса.

Вязкость – свойства реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой.