Теорема 4(второе достаточное условие сущ.т.экстремума)

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в окрестности т.х0,при чём вторая производная f``(x)-непрерывна в этой окрестности и f``(x0)=0,тогда:

1)Если f``(x0)>0,то х0-точка локального минимума.

2)Если f``(x0)<0,то точка локального максимума)

38.Выпуклость вверх и вниз,точки перегиба графика функции.

 

Теорема 1.(условия выпуклости вверх/вниз)

Пусть ф-ияy=f(x) дважды дифференцирована на интервале(а,в) тогда:

1)если f``(x)>0,x выпуклая вниз.

2)еслиf``(x)<0,x выпуклая вверх.

Т.(х0,f(x0) графика ф-ииy=f(x) называется точкой перегиба если сущ. Некоторая окрестность т.х0,в которой график ф-ииy=f(x) будет иметь разное направление выпуклости левой и правой полуокрестностях т.х0.

 

Теорема 2(необходимое условие сущ. Т. перегиба)

Если т. с координатами (х0,f(x0) является т.перегиба графика ф-ииy=f(x),то в этой точке либо 2-ая производная=0,либо 2-ая производная не сущ.в этой точке.

Точки в кот. 2-ая производная=0 или не сущ.называется критическими точками 2-ого рода.

Теорема 3(достаточное условие сущ. Точек перегиба)

Пусть ф-ияf(x) дважды дифференцирована в окрестност т. х0,тогда:

Если сущ.левая и правая полуокрестности т. х0(в одной,из которых вторая производная >0 f``(x)>0,а в другой f``(x)<0,то (х0,f(x0)-точка перегиба графика функции.

39.Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика ф-ииy=f(x),называется прямая к которой стремится этот график при стремлении к бесконечности хотя бы одной из координа(Х или У)

Асимптоты бывают вертикальные,горизонтальные,наклонные.

Вертикальные асимптоты возникают в т.разрыва 2-го рода ф-ии,т.е.,если х=ат.разрыва 2-го рода ф-ииy=f(x) то х=а-уравнение вертикальной асимптоты

+- бесконечность

1)Если ,то y= -левая горизонтальная асимптота

2) Если ,y= -правая горизонтальная асимптота.

3) Если =

4)Если = -правая наклонная

Замечание! Горизонтальная и наклонная асимптоты взаимоисключают друг друга.Еслисущ.горизонт.асимптоты,то нет наклонной и наоборот.

40.Общая схема исследования функций и построение графиков.

1)Определяем область определения функции.

2)Переодичность.

3)Четность/нечётность.

4)Непрерывности точек разрыва.

5)Асимптоты

6)Интервалы возрастания/убывания функции в точках экстремума.

7)Интервалы выпуклости вверх/вниз.Точки перегиба.

8)Точки пересечения с осями координат.

9)Построение графика функции.

Интегральноеисчесление функций одной переменной.

41.Первообразная.Неопределенный интеграл и его свойства.

Первообразная. ФункцияF(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a,b),если F`(x)=f(x),x

Теорема 1.

Если F1(x) и F2(x) любые 2-е первообразные f(x),то F1(x)-F2(x)=C,c-const

Доказательство: Рассмотрим ф-ию Ф(x)=F1(x)-F2(x),где F1(x) и F2(x)-первообразные ф-ииf(x).

Ф`(x)=(F1(x)-F2(x))`= F1`(x)-F2`(x)=f(x)-f(x)=0= Ф(х)=С,С =const или F1(x)-F2(x)=C

Теорема 2:

Если F(x) какая-либо первообразная ф-ииf(x),то любая другая первообразная этой ф-ии будет иметь вид:

F(x)+C-const(справедливость Т2= из Т1)

Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных ф-ииf(x) называется неопределенным интегралом от ф-ииf(x)и обозначается: ,где ,f(x)-подынтегральное ф-ия,f(x)dx-подынтегральное выражение.

Таким образом,еслиF(x) одна из первообразных ф-ииf(x),то

Cвойства:

1. d или Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3.

4. Интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов

5. постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

Интегрирование является операцией обратной к операции диференцирования:придиференцировании для данной ф-ии ищут её производную,а при интегрировании наоборот по производной функции находят саму функцию.

42.Таблица основных интегралов.

Если первообразная какой-либо функции f(x) является элементарной функцией,тоговорят,что интеграл вычисляется,носущ.такие ф-ии первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

-не вычисляется в элементарных функциях.

-не вычисляются.

-не вычисляются.

-не вычисляется

43.Условия интегрируемости функции.

Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке (a,b),если сущ.опред.интеграл этой функции на отрезке.

Условия интегрируемости.

1.Если ф-ияf(x) непрерывна на отрезке (a,b),то она интегрируема на этом отрезке.

2.Если ф-ияf(x) определена и монотонна на этом отрезке (a,b),то она интегрируема на этом отрезке.

3.Если ф-ияf(x) ограничена на отрезке (a,b) и имеет на нём конечное число точек разрыва 1-го рода,то она интегрируема на этом отрезке.

 

44.Основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования,замена переменной в неопределенном интеграле,интегрирование по частям.

Опереция замены переменной эквивалентна операции подведения под знак диференциала(в неопределенных интегралах)

3.Интегрирование по частям.

Если ф-ияu(x) и v(x)диференцируемы на интервале(а,и),а произвед. Этих ф-ийu`(x)*v`(x) имеет первообразную на этом интервале,то сущ. Также первообразная u(x)*v`(x) и эта производная определяется по формуле.

,учитывая что

-№2

Доказательство/

(u(x))`=u`(x)*v(x)+v`(x)*u(x)=u(x)v`(x)=(u(x)v(x)`-u`(x)v(x)

Большая часть интегралов,которые могут быть вычеслены по формуле №2 можно разбить на 3 основные группы.

Pn(x)-многочлен=

 

Тогда за u берём: u=lnx,arcsinx,arccosx,arctgx,arcctgx

Пример:

2) u=Pn(x),dv=

Интегралы этой группы вычисляются n-кратным применением формулы №2.

3)

Интегралы этой группы вычисляются путем 2-ух крастного применения формулы №2,а затем из полцченногоравенства,как из ур-ия выражается искомый интеграл.

 

45.Интегрирование рациональных дробей:разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби,интегрирование простейших рациональных дробей,интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов: 1.Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;2.Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений; 3.Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов; 4.Вычислить интегралы от простейших дробей.

 

Простейшие рациональной функцией является многочлен степени n= + ,где а1,an-коэфициенты многочлена,а0-свободный член.

Многочлен называется приведенным,еслиan=1.

Любой приведенный многочлен может быть представлен в виде:

(x)= ,где многочлены ,i=1,…s-не имеют действительных корней(нельзя разложить на произведение скобочек)

 

Кореньx= данного многочлена имеет кратность= ,если скобочка стоит в степени

Числоx= -называется корнем многочлена,если

Если ,то корень называется однократным или простым.Кратностьопределяется по степени скобок.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов ,причем предполагается,что многочлены и не имеют общих множителей.Еслиm<n,то дробь называется правильной,в другом случае неправильной.Всякую неправильную дробь можно записать ввиде: = (x)+ ,где k<n

Простейшими или элемнтарнымирацион.дробями называются дроби следующего вида (Интегрир.прост.рацион.дробей)

k -не имеет действ.корней.

(являются произвольными постоянными),значение которых требуется определить и эти значения можно определить с помощью метода неопределенных коэфициентов)Разложить дробь на простейшие.Решение:

Найдем коэффициенты А и В.

1 способ - метод частных значений:

16.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

1 тип.

- заданные числа

 

2 тип.

- заданные числа

3 тип.

- заданные числа . Квадратный трехчлен не содержит действительных корней.

Интегрирование осуществляется посредством выделения полного квадрата в знаменателе: и дальнейшей заменой , иначе выражаясь

 

 

46.Интегрирование выражений,содежащих тригонометрические функции.

1. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

 

 

2.Вычисление интегралов вида , где m и n? целые числа.

В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:

А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку .

 

Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: , и .

 

В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или .

 

Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества.

 

47.Интегрирование некоторых иррациональностей.

1.

= = )dt=2

 

2. dx=

48.Определенный интеграл и его основные свойства.Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть ф-ияf(x)определена на отрезке a,b.Разобьем этот отрезок на n-частей точками a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn<b

Длина i-того частичного отрезка=

В каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку xi и вычислим значение функции f(xi),i=1…n в этих точках далее составим,так называемую интегральную сумму

Если при любых разбиениях отрезка (а,в) на частичные отрезки ,i=1…n и при любом выборе точек xi,i=1,…n в них интегральные суммы имеют один и тот же конечный предел при условии,что ,то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке и обозначается:

, гдеa,b-пределы интегрирования

Таким образом,поопределению,интеграл от a доbf(x) на dx есть предел от интегрирования суммы.

 

 

Основные свойства:

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

 

 

2.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

 

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

 

5. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.