Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

Пусть известно некоторое приближение к корню . Запишем исходную систему нелинейных уравнений в виде

где . Разлагая эти уравнения в ряды и ограничиваясь первыми дифференциалами, т.е. линеаризуя функцию, получим

Это система уравнений, линейных относительно приращений ; все коэффициенты системы выражаются через последнее приближение . Решив эту систему, например, методом исключения найдем новое приближение .

Отметим, что система (6.13) в матричной форме имеет вид:

где значения производных в матрице коэффициентов и функций в векторе свободных членов вычислены при текущем приближении корня .

Матрица частных производных носит название матрицы Якоби. Для ее формирования возможны два пути: а) получить аналитические выражения для всех частных производных и вычислить их значение при – прием предпочтительный в смысле корректности подхода, но зачастую трудоемкий, особенно при большом числе аргументов; б) заменить частные производные в матрице Якоби их приближенными конечно-разностными значениями

где – малое приращение .

Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона складывается из следующих этапов:

1) задают относительную погрешность вычисления аргументов , вектор начальных приближений , максимальное число итераций M для выхода из алгоритма в случае медленной сходимости или программных ошибок пользователя;

2. вычисляют матрицу Якоби по аналитическим выражениям или конечно-разностным методом, причем в последнем случае можно принять

3. решают систему линейных алгебраических уравнений (6.14) относительно приращений

4) вычисляют уточненное значение аргументов – новое приближение по формуле

5) проверяют выполнение условий по всем аргументам и если хотя бы одно выполняется, то возвращаются к п.2 для новой итерации; в противном случае полученный вектор считают решением.

Индивидуальные задания.

Индивидуальное задание 1. Решить уравнение методом дихотомии.

№ п/п	Уравнение	A	B	№ п/п	Уравнение	A	B
	Tg(x) = 1/x		p/2		Tg(x) = 1/x2		p/2
	Ln(x) = 1/x				Ln(x) = Sin(x)
	e-x = x				e-x = Sin(x)		p/2
	Ln(x) = 1/ x2				ex = 1/Sin(x)		p/2
	e-x2 = x				e-x = x2
					2 + Ln(x) = 1/x2
	2 +Ln(x) = 1/x				Ln(x) = Sin2(x)		p/2
	x - x3 + 1 = 0				x - x3 + 2 = 0
	x + 3 = x3				x + 5 = x3
	x + x3 - 5 = 0				x - 0,5 = x8		0,5
	2x + x5 - 1 = 0				x - 1 = x0,15
	1 - x2 - x1,5 =0				1 - x2 = x4/3
	x +0,5 = e-x2				x + 0,5 = e-x
	1 - x + x3 = 0	-2			2 - x + x3 = 0	-2
	1 + x = x3				Sin(x) = 1/x		p/2

 

Индивидуальное задание 2. Решить систему уравнений методом Ньютона. Погрешность для всех вариантов принять e=0,1.

№ вар	Система		№ вар	Система

 

Лабораторные работы.

Лабораторная работа №5. Реализация методов решения уравнений и их систем средствами VBA.

Задание 1. Внести необходимые изменения в процедуры выполнения шага жордановых исключений, написанные в предыдущих лабораторных работах, чтобы с их помощью можно было решать системы линейных уравнений. Т.е. реализовать метод транспозиции. Используя эту процедуру, решить задачу индивидуального задания 1.

Задание 2. Используя формулы метода Гаусса и формулы массивов в Excel, подготовьте лист для решения системы линейных уравнений по образцу, представленному ниже:

 

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
1. Прямой ход метода Гаусса		2. Обратный ход метода Гаусса
Матрица коэффициентов А	вектор В					Х
											0,186
											0,779
											-0,636
											0,457
						3.Проверка
						Матрица коэффициентов А	Х	B=A*X
	0,5	-7,5	-8	1,5						0,186
	-4,5	-16,5	-12	1,5						0,779
	-1,5	-9,5	-3	3,5						-0,636
										0,457
	0,5	-7,5	-8	1,5
		-84	-84
		-32	-27
	0,5	-7,5	-8	1,5
		-84	-84
				2,286

Рис.3 Рабочий лист для решения СЛУ методом Гаусса.

 

В качестве образца создание формул ознакомьтесь с формулами первого шага прямого хода исключения (Рис 4.):

 

Прямой ход метода Гаусса

Матрица коэффициентов А вектор В

=A4:E4- $A$3:$E$3* (A4/$A$3)	=A4:E4- $A$3:$E$3* (A4/$A$3)	=A4:E4- $A$3:$E$3* (A4/$A$3)	=A4:E4- $A$3:$E$3* (A4/$A$3)	=A4:E4- $A$3:$E$3* (A4/$A$3)
=A5:E5- $A$3:$E$3* (A5/$A$3)	=A5:E5- $A$3:$E$3* (A5/$A$3)	=A5:E5- $A$3:$E$3* (A5/$A$3)	=A5:E5- $A$3:$E$3* (A5/$A$3)	=A5:E5- $A$3:$E$3* (A5/$A$3)
=A6:E6- $A$3:$E$3* (A6/$A$3)	=A6:E6- $A$3:$E$3* (A6/$A$3)	=A6:E6- $A$3:$E$3* (A6/$A$3)	=A6:E6- $A$3:$E$3* (A6/$A$3)	=A6:E6- $A$3:$E$3* (A6/$A$3)

 

Рис. 4. Формулы первого шага прямого хода исключения

 

Задание 3. Построить блок-схему алгоритма и разработать VBA-программу решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Задание 4. С помощью созданного рабочего листа Excel и разработанной VBA-программы решить системы уравнений методом Гаусса и вычислить выражения (согласно своему варианту):

1. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y A A Y, где

, ,

2. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y A A Y, где

, ,

3. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y A A Y, где

, ,

4. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А Y, где

, ,

5. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А Y, где

, ,

6. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А Y, где

, ,

7. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА АХ=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А Y, где

, ,

8. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА АХ=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А Y, где

, ,

9. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА АХ=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А Y, где

, ,

10. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А АХ=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А А Y, где

, ,

 

 

11. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А АХ=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А А Y, где

, ,

12. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А АХ=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А А Y, где

, ,

13. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А Y, где

, ,

14. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А Y, где

, ,

15. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А Y, где

, ,

16. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А АY, где

, ,

17. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А АY, где

, ,

18. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А АY, где

, ,

19. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А А Y, где

, ,

20. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А А Y, где

, ,

21. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А А Y, где

, ,

22. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А АY, где

, ,

23. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А АY, где

, ,

24. Решить системы линейных уравнений АХ=В, АА А Х=В и вычислить значения квадратичной формы z=Y А А АY, где

, ,

 

 

25. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А^ТАА^ТХ=В и вычислить значение квадратичной формы z=Y^TAA^TAA^TY , где

26. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А^ТАА^ТХ=В и

вычислить значение квадратичной формы z=Y^TAA^TAA^TY , где

27. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А^ТАА^ТХ=В и

вычислить значение квадратичной формы z=Y^TAA^TAA^TY , где

28. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А^ТАА^ТХ=В и

вычислить значение квадратичной формы z=Y^TAA^TAA^TY , где

29. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А^ТАА^ТХ=В и

вычислить значение квадратичной формы z=Y^TAA^TAA^TY , где

30. Решить системы линейных уравнений АХ=В, А^ТАА^ТХ=В и

вычислить значение квадратичной формы z=Y^TAA^TAA^TY , где

Задание 5. Построить блок-схему алгоритма и разработать VBA-программу поиска корня нелинейного уравнения f1(x)=f2(x) на заданном отрезке [a,b] c заданной точностью ε, реализовав в виде процедуры метод половинного деления. Используя процедуру решить уравнение приведенное таблице 1.

Задание 6. Подготовить рабочий лист в Excel для решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона по следующему образцу (рис 4а) и решить уравнение в соответствии со своим вариантом. Значение погрешности e принять равным 0,001 для всех вариантов.

	Решение системы уравнений методом Ньютона
Исходная система уравнений		Производные
f1=6x1^2+x2^2+10x1=0		df1dx1=12x1+10	df1dx2=2x2
f2=2x1x2+2x2=0			df2dx1=2x2	df2dx2=2x1+2
Шаг		x	f	W-якобиан	W-1-обратный	dx
df1	df2
	x1	0,1	1,1	11,2	0,4	0,089869	-0,01634	0,091667
x2	0,2	0,44	0,4	2,2	-0,01634	0,457516	0,183333
	x1	0,008333	0,084028	10,1	0,033333	0,099015	-0,00164	0,008265
x2	0,016667	0,033611	0,033333	2,016667	-0,00164	0,495895	0,01653
	x1	6,83E-05	0,000683	10,00082	0,000273	0,099992	-1,4E-05	6,83E-05
x2	0,000137	0,000273	0,000273	2,000137	-1,4E-05	0,499966	0,000137
	x1	4,67E-09	4,67E-08		1,87E-08	0,1	-9,3E-10	4,67E-09
x2	9,33E-09	1,87E-08	1,87E-08		-9,3E-10	0,5	9,33E-09

 

Рис. 4а. Рабочий лист Excel для решения системы уравнений методом Ньютона.

Задание 7. Построить блок-схему алгоритма и разработать VBA-программу решения систем нелинейных уравнений методом Ньютона. С заданной точностью ε=0,001.

Задание 8. Преобразовать нелинейные уравнения системы из Таблицы 3а к виду f 1(x) = y и f 2 (y)= x. Построить их графики и определить начальное приближение решения. Затем решить с помощью метода Ньютона.

Таблица 3а. Задания к методу Ньютона

№	Задание	№	Задание	№	Задание