Энергия, переносимая волной. Стоячие волны.

При изучении механических колебаний было установлено, что полная энергия колебаний гармонического осциллятора W = m ω² A ²/2, где А — амплитуда колебания, (см. формулу (3.14)). Именно эта энергия переносится волной посредством возбуждения колебаний близлежащих частиц. Более полной характе­ристикой процесса переноса энергии волной является вектор плотности потока энергии волны j, который определяет количество энергии, переносимое волной через единицу площади в одну секунду в направлении ее распространения. Если v – скорость волны, то за время D t через площадку D S, перпендикулярную направлению распространения, переносится количество энергии:

,

где w — плотность энергии, заключенной в объеме V.

Разделив это выражение на D S D t, получим величину плотности потока энергии:

j = w × v. (3.58)

Наконец, если ввести вектор , равный по величине фазовой скорости волны и направленный вдоль волнового вектора (3.55), получим выражение для вектора плотности потока энергии:

. (3.59)

Следовательно, направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением распространения волны.

Вектор (3.59) называется вектором Умова-Пойнтинга. Он является важной характеристикой переноса энергии волной я сохраняет свое значение и в тех случаях, когда речь идет не только о колебаниях частиц, но и о волновом процессе изменения любых физических величин, например температуры, электрического или магнитного полей.

Необычное перераспределение энергии колебаний происходит при наложении двух волн, бегущих навстречу друг другу, в том случае, когда разность фаз между волнами в процессе распространения волн остается постоянной. Такая ситуация реализуется при отражении бегущей волны от препятствия, например, при возбуждении упругой волны в струне, один из концов которой закреплен. При этом возникает отраженная волна, бегущая навстречу первой. Пусть для простоты начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда результирующая волна будет суммой двух волн, бегущих в противоположных направлениях:

u ₁ = u ₀ cos (ω t – kx), u ₀ = u ₀ cos (ω t + kx). (3.60)

Сложив эти уравнения и преобразовав результат сложения по формуле для суммы косинусов, получим:

u = u ₁ + u ₀ = 2 u ₀ cos kx × cos ω t. (3.61)

Заметим, что в результате наложения волн характер колебаний существенно изменился. Колебания во всех точках происходят одновременно с одинаковой частотой ω. Иными словами, вся система колеблется как целое, причем передачи энергии в процессе колебаний от одной точки к другой не происходит. Каждая частица колеблется так, как это происходит при обычных колебаниях — в момент времени, когда ее смещение максимально, максимальна ее потенциальная энергия и минимальна кинетическая, и наоборот. В каждый момент времени система частиц образует в пространстве периодическую структуру, форма которой определяется амплитудным множителем в выражении (3.61):
A (x) = 2 u ₀ coskx. В точках x = ±2 n l/4 (n = 0, 1, 2,..) (3.62)

амплитуда колебаний наибольшая, а в точках

x =±(2 n +1)l/4 (3.63)

она равна нулю. Эти точки называют соответственно пучностями и узлами волны. Узлы и пучности волны расположены друг от друга на расстоянии l/4.

Описанную картину колебаний во встречных бегущих волнах называют стоячей волной. Ясно, что в замкнутом объеме, где бегущая волна испытывает отражение от обеих границ, устанавливается стоячая волна.