Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Формула Лагранжа

 

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и дифференцируема на открытом промежутке (a, b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a, b), для которой справедливо равенство: f(b) - f(a) = f′(c)(b - a). (1)

 

 

Рис. 4.1.

 

Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа. Проведем наглядное обоснование этой формулы. Возьмем на графике функции f(x) точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)). Проведем через эти точки прямую AB. Проведем также прямую L, параллельную прямой AB, так, чтобы она не пересекала график функции f(x) на промежутке (a, b). Сохраняя параллельность L и AB, будем «надвигать» прямую L на график f(x) до тех пор, пока прямая L не коснется графика f (x) в некоторой точке c промежутка (a, b). Геометрическую точку касания обозначим буквой M, а через MN обозначим касательную к графику f(x), параллельную прямой AB. Очевидно, угловые коэффициенты прямых MN и AB (то есть тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс) равны. Угловой коэффициент прямой MN равен f′(c), а угловой коэффициент прямой AB равен (f(b) -∙ f(b))/(b-a), и справедлива формула:

Отсюда сразу получается формула (1). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a, b), в которых касательные к графику функции f(x) параллельны прямой MN. Производную функции f(x), вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (1) вместо множителя .

Сформулируем теорему о монотонности функции. Если f′(x) > 0 на промежутке (a; b), то на (a; b) функция f (x)возрастает. Если f′(x) < 0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) убывает.

Докажем эту теорему. Пусть t ₁ и t ₂ — любые числа из промежутка (a; b), причем t ₂> t ₁. Тогда по теореме Лагранжа можно указать такое число c из промежутка (t ₁; t ₂), для которого справедливо равенство f (t ₂) – f (t ₁) = f′ (c)(t ₂ – t ₁). Если f′ (x) > 0 для всех x из промежутка (a; b), то f′ (c) > 0, и из условия t ₂ > t ₁следует, что f (t ₂) – f (t ₁) > 0. Таким образом, возрастание функции f (x) на промежутке (a; b) доказано. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Точка x ₀ называется точкой минимума функции f (x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f (x) > f (x ₀).

Точка x ₀ называется точкой максимума функции f (x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f (x) < f (x ₀).

 

 

Рис. 4.2. Примеры точек максимума

 

 

Рис. 4.3. Примеры точек минимума

 

 

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Сформулируем теорему о необходимом условии экстремума функции: если в точке экстремума функция f (x) имеет производную, то производная равна нулю.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди тех точек ее области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

Если f′ (x ₀) = 0, это еще не значит, что в точке x ₀ есть экстремум. Примером может служить функция y = x ³. В точке x =0 ее производная равна нулю, но экстремума функция не имеет. График функции изображен на рисунке 4.4.

 

 

Рис. 4.4.

 

Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Как было показано выше, с помощью необходимого условия нельзя определить, является ли данная точка точкой экстремума, тем более указать, какой экстремум реализуется – максимум или минимум. Для того, чтобы ответить на эти вопросы, сформулируем и докажем теорему, которая называется достаточным условием экстремума.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке x ₀. Тогда:

1) если f′ (x) < 0 на (a; x ₀) и f′ (x) > 0 на (x ₀; b), то точка x ₀ – точка минимума функции f (x);

2) если f′ (x) > 0 на (a; x ₀) и f′ (x) < 0 на (x ₀; b), то точка x ₀ – точка максимума функции f (x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f′ (x) < 0 на (a; x ₀) и f (x) непрерывна в точке x ₀, то f (x) убывает на (a; x ₀], и для любого x ∈(a; x ₀) выполняется условие f (x)> f (x ₀).

Так как f′ (x) > 0 на (x ₀; b) и f (x) непрерывна в точке x ₀, то f (x) возрастает на (x ₀; b ], и для любого x ∈(x ₀; b) выполняется условие f (x)> f (x ₀).

В результате получается, что при любом x ≠ x ₀ из (a; b) выполняется неравенство f (x)> f (x ₀), то есть точка x ₀ – точка минимума f (x).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.