Тема «Координати в просторі».

Тести для контролю знань, вмінь і навичок.

 

Варіант.

 

Дано точки: A (1; 4; - 7), B (0; 2; 0), C (3; 0; 0), D (0; 0; 5), E (0; - 9; 11),

F (0; 0; - 6), M (- 7; 0; 0), N (0; - 3; 0).

 

1. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОХ.

А	Б	В	Г	Д
Е, Р.	А, Е.	B, E.	E, M.	С, М.

 

2. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОУ.

А	Б	В	Г	Д
А, Е.	D, F.	В, D	В, N.	F, С.

 

3. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОZ.

А	Б	В	Г	Д
D, F.	N, В.	N, М.	А, Е.	С, D.

 

Дано точки: E (1; - 3; 0), F (0; 2; - 4), M (2; 0; 6), N (0; 8; 0), A (0; 3; 5),

B (- 9; 7; 0), C (9; 0; - 1), D (1; 2; 7).

 

4. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині ХОУ.

А	Б	В	Г	Д
М, С.	Е, В.	С, D.	N, С.	М, А.

 

5. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині УОZ.

А	Б	В	Г	Д
N, С.	А, D.	F, А.	А, F.	В, D.

 

6. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині ХОZ.

А	Б	В	Г	Д
М, С.	В, D.	М, С.	F, А.	О, Е.

 

7. Знайдіть координати середини відрізка FK, якщо: F(- 1; 7; - 9), K(3; - 5; 7);

А	Б	В	Г	Д
(- 1; 1; - 1)	(- 2; - 2; 3)	(1; 1; - 3)	(- 2; - 1; 2)	(1; 1; - 1)

 

8. Точка М – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо:

А(2; - 1; 0), М(- 4; 2; 2).

А	Б	В	Г	Д
В(- 10; 5; 4).	В(1; - 7; - 2).	В(2; - 8; 7).	В(6; 6; - 6).	В(11; - 8; -3).

 

9. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо: А(3; - 2; 3), В(- 1; 2; 5).

А	Б	В	Г	Д

 

10. Відстань між точками М(- 4; 2; 2) і N(2; у; 0) дорівнює 7. Знайдіть у.

А	Б	В	Г	Д
	- 1	- 2

 

11. В трикутнику АВС А(3; - 1; 0), В(- 5; 7; - 4), С(1; 5; 2). Знайти довжину середньої лінії МN трикутника АВС, де М і N – середини сторін АС і ВС відповідно.

А	Б	В	Г	Д
6,5			3,5

 

12. Знайдіть координати точки, яка ділить відрізок FК у відношенні 3: 1, рахуючи від точки F, якщо F(8; -2; 0), K(0; 8; -6);

А	Б	В	Г	Д
(2; 5,5; - 4,5)	(3; - 2,5; 0,5)	(-1; 4,5; - 4,5)	(0; - 4,5; 5)	(-4; 1,5; - 0,5)

 

 

Варіант.

 

 

Дано точки: E (7; 0; 0), F (0; - 8; 0), M (- 1; 0; 0), N (0; 0; - 5), O (0; - 3; 0),

P (9; 8; 7), R (1; 0; - 1), S (0; 0; 4).

 

1. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОХ.

А	Б	В	Г	Д
E, M.	B, E.	Е, Р.	С, М.	P, R.

 

2. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОУ.

А	Б	В	Г	Д
P, F.	М, N.	F, O.	М, S.	Р, О.

 

3. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОZ.

А	Б	В	Г	Д
Е, F.	N, S.	М, S.	О, Р.	N, О.

 

Дано точки: R (0; - 1; 2), S (9; 0; 7), M (0; 0; 4), N (9; 2; 0), E (5; 6; 5), F (0; 7; 3), C (8; 0; - 1), D (- 4; 3; 0).

 

4. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині ХОУ.

А	Б	В	Г	Д
Е, М.	N, С.	Е, С.	N, D.	М, Е.

 

5. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині УОZ.

А	Б	В	Г	Д
F, С.	Е, D.	М, D.	N, S.	R, F.

 

6. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині ХОZ.

А	Б	В	Г	Д
М, С.	S, С.	F, М.	D, N.	R, S.

 

7. Знайдіть координати середини відрізка FK, якщо: F(2; - 6; 7), K(- 6; 4; - 3);

А	Б	В	Г	Д
(1; 1; - 1)	(1; 1; - 3)	(- 1; 1; - 1)	(- 2; - 1; 2)	(- 2; - 2; 3)

 

8. Точка М – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо:

А(- 1; 4; 3), М(5; - 2; 0).

А	Б	В	Г	Д
В(6; 6; - 6).	В(11; - 8; - 3).	В(- 10; 5; 4).	В(2; - 8; 7).	В(1; - 7; - 2).

 

9. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо: А(9; - 3; - 6), В(1; 5; - 10).

А	Б	В	Г	Д

 

10. Відстань між точками М(5; - 2; 0) і N(х; 4; 3) дорівнює 9. Знайдіть х.

А	Б	В	Г	Д
		- 1	- 2

 

11. В трикутнику АВС А(1; - 7; - 4), В(4; - 5; 2), С(1;2; 3). Знайти довжину середньої лінії МN трикутника АВС, де М і N – середини сторін АС і ВС відповідно.

А	Б	В	Г	Д
	6,5		3,5

 

12. Знайдіть координати точки, яка ділить відрізок FК у відношенні 3: 1, рахуючи від точки F, якщо F(- 9; 8; - 4), K(7; - 6; 2);

А	Б	В	Г	Д
(2; 5,5; - 4,5)	(3; - 2,5; 0,5)	(- 1; 4,5; - 4,5)	(0; - 4,5; 5)	(- 4; 1,5; - 0,5)

 

Вектори в просторі.

Вектором називається напрямлений відрізок. Вектор – це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.

Вектори позначають двома способами:

· малими буквами латинського алфавіту (наприклад, );

· двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, ).

 

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини (, ).

Рис.1. Вектор з початком в точці A і кінцем в точці B.

 

Вектори і називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі і .(рис. 2)

Вектори і називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі і .(рис. 3)

Рис.2. Протилежно напрямлені вектори. Рис.3. Співнапрямлені вектори.

 

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається . Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято вважати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні.

Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Рівні вектори мають рівні відповідні координати.

 

Вектор може позначатися однією малою буквою латинського алфавіту , і відповідно мати координати:

 

.

Якщо вектор має початком точку A з координатами , а кінцем – точку B з координатами , то числа називаються його координатами:

,

 

Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає вектор, і позначається | | або .

Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

,

(j — кут між векторами).

.

Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. = 0, тобто = 0

Кут j між двома векторами і можна знайти за формулою:

_.

Сумою векторів і називається вектор .

Різницею векторів і називається вектор .

Добутком вектора на число λ називається вектор:

 

Тренувальні завдання.