Відповіді до тренувального тесту.

Координати в просторі.

Прямокутна (декартова) система координат в просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей: OX — вісь абсцис, OY — вісь ординат, OZ — вісь аплікат.

Відстань між точками та визначається формулою:

АВ=

Координати точки - середини відрізка АВ, де та , визначаються за формулами:

Координати кінця відрізка, якщо відомо координати початку і середини, визначаються так:

Координати точки поділу відрізка АВ, де та , у заданому відношенні n: m визначаються за формулами:

; ; .

Координати точки перетину медіан трикутника АВС, де , , визначаються за формулами:

Координати проекцій точки A на осі координат, взяті за порядком нумерації осей, утворюють упорядковану систему трьох чисел. Цю трійку чисел називають прямокутними координатами точки A і позначають A (x; y; z).

Якщо точка належить осі OХ, то її координати (x; 0; 0), якщо осі OУ – (0; y; 0), якщо осі ОZ – (0; 0; z).

Якщо точка належить площині ХОУ, то її координата матиме вигляд (x; y; 0), якщо площині УОZ, то (0; y; z), якщо площині ХОZ, то (x; 0; z).

Тренувальні завдання.

Дано точки: E (0; 3; 0), F (0; 0; - 9), M (- 2; 0; 0), N (0; 1; - 3),

A (0; 0; 8), B (- 7; 3; 9), C (0; - 4; 0), D (6; 0; 0), K (0; 4; 7), L (1; 0; 9),

P (3; 7; 0), O (9; - 1; 9), R (0; 0; 5), S (4; - 6; 0), W (2; 0; 8), Т (0; 2; - 3). Вкажіть точки, які лежать:

- А) на координатній вісі ОХ:

- Б) на координатній вісі ОУ:

- В) на координатній вісі ОZ:

- Г) у координатній площині ХОУ:

- Д) у координатній площині УОZ:

- Е) у координатній площині ХОZ:

- Ж) у просторі:

Відповідь: А) М, D. Б) Е, С. В) F, А, R. Г) Р, S. Д) N, К, Т. Е) L, W. Ж) В, О.

Знайдіть координати середини відрізка FK, якщо:

F(8; - 2; 0), K(0; 8; - 6);

Зразок розв’язання:

Скористаємося формулами:

Обчислимо:

Відповідь: С (4; 3; - 3).

Точка М – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо: А(8; - 4; 6), М(1; 2; 3).

Зразок розв’язання:

Скористаємося формулами:

Обчислимо:

Відповідь: В(- 6; 8; 0).

Знайдіть відстань між точками А і В, якщо: А(1; -7; - 4), В(4; - 5; 2).

Зразок розв’язання:

Скористаємося формулами: АВ=

Обчислимо: АВ=

Відповідь: 7 одиниць довжини.

Відстань між точками М(4; у; 2) і N(1; - 3; - 4) дорівнює 7. Знайдіть у.

Зразок розв’язання:

Скористаємося формулами: АВ=

Обчислимо:

Відповідь: у₁ = - 5, у₂ = -1.

В трикутнику АВС А(5; - 2; 0), В(- 1; 4; 3), С(5; 6; 7). Знайти довжину середньої лінії МN трикутника АВС, де М і N – середини сторін АС і ВС відповідно.

Зразок розв’язання:

1) Обчислимо координати точки М – середини сторони АС.

А(5; - 2; 0), С(5; 6; 7).

Скористаємося формулами:

М(5; 2; 3,5).

2) Обчислимо координати точки N – середини сторони ВС.

В(- 1; 4; 3), С(5; 6; 7).

Скористаємося формулами:

N(2; 5; 5).

3) Обчислимо довжину лінії МN трикутника АВС, де М(5; 2; 3,5), N(2; 5; 5).

Скористаємося формулами: АВ =

Обчислимо:

MN =

Відповідь: MN = 4,5 одиниць довжини.

Знайдіть координати точки Р, яка ділить відрізок FК у відношенні 3: 1, рахуючи від точки F, якщо F(- 1; 7; -9), K(3; - 5; 7);

Зразок розв’язання:

Скористаємося формулами: ; ; .

Обчислимо: ;

Відповідь: Р (0; 4; -0,5).

Тренувальний тест.

Дано точки: A (1; 2; 0), B (5; - 6; 7), M (9; 0; 0), N (0; 0; - 1), O (0; 0; 7),

P (0; - 2; 0), C (8; 0; 0), D (0; 4; 0).

1.Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОХ.

А	Б	В	Г	Д
А, В.	М, С.	В, Р.	О, С.	B, N.

2. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОУ.

А	Б	В	Г	Д
Р, D	D, Р.	М, N.	Р, O.	А, В.

3. Вкажіть точки, які лежать на координатній вісі ОZ.

А	Б	В	Г	Д
О, D.	В, F.	N, С.	А, В.	N, О.

Дано точки: K (1; 0; 0), L (2; 0; 7), M (4; 6; 0), N (0; 6; 8), A (- 7; 3; 0),

B (0; - 3; 0), C (0; 6; - 6), D (3; 0; - 8).

4. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині ХОУ.

А	Б	В	Г	Д
М, А.	N, С.	N, С.	N, D.	А, В.

5. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині УОZ.

А	Б	В	Г	Д
М, А.	L, D.	N, С.	K, D.	L, D.

6. Вкажіть точки, які лежать у координатній площині ХОZ.

А	Б	В	Г	Д
М, С.	В, С.	М, А.	L, D.	В, D.

7. Знайдіть координати середини відрізка FK, якщо: F(- 9; 8; - 4), K(7; - 6; 2);

А	Б	В	Г	Д
(- 1; 1; - 1)	(1; 1; - 3)	(- 2; - 2; 3)	(1; 1; - 1)	(- 2; - 1; 2)

8. Точка М – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо:

А(4; 0; 8), М(3; - 7; 2).

А	Б	В	Г	Д
В(11; - 8; - 3).	В(- 10; 5; 4).	В(6; 6; - 6).	В(2; - 8; 7).	В(2; - 14; - 4).

9. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо: А(4; - 5; 2), В(1; - 3; - 4).

А	Б	В	Г	Д

10. Відстань між точками М(- 1; 2; 5) і N(3; у; 3) дорівнює 6. Знайдіть у.

А	Б	В	Г	Д
	- 2	- 1

11. В трикутнику АВС А(- 4; 2; 2), В(2; -1; 0), С(4; 5; 6). Знайти довжину середньої лінії МN трикутника АВС, де М і N – середини сторін АС і ВС відповідно.

А	Б	В	Г	Д
3,5		6,5

12. Знайдіть координати точки, яка ділить відрізок FК у відношенні 3: 1, рахуючи від точки F, якщо F(2; - 6; 7), K(- 6; 4; - 3);

А	Б	В	Г	Д
(2; 5,5; - 4,5)	(3; - 2,5; 0,5)	(- 1; 4,5; - 4,5)	(0; - 4,5; 5)	(- 4; 1,5; - 0,5)

Відповіді до тренувального тесту.

№