Способы определения координат центров тяжести.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость симметрии. Проведем в этой плоскости координатные оси , и перпендикулярную им ось . Тогда каждой точке с координатами будет соответствовать точка .

Тогда, согласно формулам (6.4) , т.е. центр тяжести будет находиться в плоскости симметрии .

Если тело имеет ось симметрии, например, ось , тогда каждой точке с координатами будет соответствовать точка , и согласно формулам (6.4) , т.е. центр тяжести лежит на оси симметрии.

Если тело имеет центр симметрии (пусть он совпадает с началом выбранной системы координат), тогда каждой точке с координатами будет соответствовать точка , и согласно формулам (6.4) , т.е. центр тяжести лежит в центре симметрии.

 

2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести тогда можно вычислить непосредственно по формулам (6.4) - (6.7), при этом количество слагаемых будет равно числу частей, на которые разбито тело.

 

3. Метод отрицательных площадей. Этот метод применяют при нахождении центра тяжести тела, имеющего пустые полости. Пусть дано тело, у которого имеется свободных полостей, причем - вес тела, - искомый радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести.

Если бы тело не имело полостей, то его вес, очевидно, равнялся бы сумме , где - веса частей тела, которыми мы мысленно заполняем полости.

Обозначим через - радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести тела, не имеющего полостей, а через - радиус-векторы, определяющие центры тяжести частей тела, заполняющих полости. Тогда для тела, не имеющего полостей можно записать

.

Находя из этой формулы радиус-вектор центра тяжести тела, имеющего полости, получим:

(8)

Таким образом, при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять способ разбиения, но при этом считать, что полости имеют отрицательные веса.

 

4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы , для которых формулы (6.5) принимают вид

,

где - координаты некоторой точки, лежащей внутри объема . Переходя в этих равенствах к пределу при , получим интегралы:

(6.9)

Аналогично, для центров тяжестей площадей и линий в пределе из формул (6.6), (6.7) получим

(6.10)

и

(6.11)

5. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально. Один из возможных методов (метод подвешивания) состоит в том, что тело подвешивают на нити или тросе за различные его точки. Направление нити каждый раз будет показывать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.

5. Центры тяжести простейших фигур.

1. центр тяжести дуги окружности.

Рассмотрим дугу радиуса с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси симметрии - . Найдем координату по формулам (6.11). Выделим на дуге элементарный отрезок

 

длиной , положение которого определяется углом . Координата этой элементарной дуги будет . С учетом того, что , получим:

.

Таким образом, центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра , равном

. (6.12)

2. центр тяжести площади треугольника.

Разобьем площадь треугольника прямыми, параллельными стороне на узких полосок. Центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане треугольника. Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане.

Аналогично получается результат для двух других медиан. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан:

.

3. центр тяжести площади кругового сектора.

Рассмотрим круговой сектор радиуса с центральным углом . Разобьем мысленно площадь сектора радиусами, проведенными из центра на секторов. В пределе при неограниченном увеличении числа , эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге радиуса . Следовательно, центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги , положение которого найдется по формуле (6.12).

Таким образом, центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра , равном

.

Пример.

Найдем центр тяжести плоской фигуры (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Координаты центра тяжести площади находятся по формулам (6.6). Для того чтобы ими воспользоваться, разобьем фигуру на части, центры тяжести которых известны: прямоугольник, треугольник и половина круга. Площадь половины круга, вырезанной из прямоугольника считаем отрицательной.

Прямоугольник:

; ; .

Треугольник:

;

.

Полукруг:

;

;

Подставляя полученные значения в формулу (6.6), будем иметь: