Ряды и числовые последовательности

Задание 1.

1. Формула общего члена последовательности имеет вид: . Найдите первый член последовательности.

2. Формула общего члена последовательности имеет вид: .

Найдите . Формула общего члена последовательности имеет вид: Найдите .

3. Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

4. Последовательность задана рекуррентным соотношением ,

. Найдите .

5. Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

6. Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

7. Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

Задание 2. Найдите сумму ряда:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Задание 3.

1. Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

2. Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

3. Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) сходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) расходится.

4. Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

5. Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

6. Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) расходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) сходится, ряд В) сходится.

7. Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

8. Из рядов , , , расходящимся является ряд

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

9. Из рядов , , , сходящимся является ряд

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10. Из рядов , , , расходящимся является ряд

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 4.

Найдите интервал сходимости степенного ряда , если известен его радиус сходимости :

1. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 5. Найдите интервал сходимости степенного ряда:

1.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Найдите радиус сходимости степенного ряда:

5.

6.

7.

8.

 

 

Теория вероятностей

Задание 1.

 

Задача 1

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, будет нечетной, равна

1) 1/2

2) 1/3

3) 5/9

4) 5/8

Задача 2

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, равна 6, а произведение 8, составит

1) 1/18

2) 1/12

3) 1/4

4) 1/3

Задача 3

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, равна 10, составит

1) 1/12

2) 5/12

3) 1/3

4) 1/4

Задача 4

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что на обеих костях выпадет разное число очков, равна

1) 5/6

2)1/2

3) 3/4

4) 4/5

Задача 5

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что произведение очков, выпавших на обеих костях, составит 12, равна

1) 1/9

2) 1/6

3) 1/3

4) 5/12

Задача 6

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, будет четной, равна

1) 1/2

2) 4/9

3) 2/5

4) 5/9

Задача 7

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что на обеих костях выпадет одинаковое число очков, равна

1) 1/6

2) 1/2

3) 1/12

4) 1/9

Задача 8

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что произведение очков, выпавших на обеих костях, составит 9, равна

1) 1/36

2) 1/6

3) 1/12

4) 1/18

Задача 9

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, составит 7, равна

1) 1/6

2) 4/9

3) 1/3

4) 5/12

Задание 2.

1. В квадрат наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется в круге, вписанном в данный квадрат (см. рис.) равна

1)

2)

3)

4)

2. В круг наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного квадрата (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

3. В круг радиуса наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри указанного кольца (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

4. В квадрат наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного квадрата (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4) 1

5. В ромб наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется в круге, вписанном в ромб (см. рис.) равна

 

 

1) 2) 3) 4)

6. В круг наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного прямоугольного равнобедренного треугольника (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

7. В квадрат наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного параллелограмма (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

Задание 3.

 

1. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что цель будет поражена.

2. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что только один стрелок попадет в цель.

3. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что только первый стрелок попадет в цель.

4. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что только второй стрелок попадет в цель.

5. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 2 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,52. Вероятность попадания в цель для второго орудия равна 0,4. Найдите вероятность попадания в цель первого орудия.

7. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0.38, а вероятность поражения цели при одном выстреле из первого орудия равна 0.8. Найдите вероятность поражения цели при одном выстреле для второго орудия.

8. Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Найдите вероятность попасть в мишень хотя бы один раз.

Задание 4.

1. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ р₂ р₃ р₄

2) р₁+ р₂+ р₃+ р₄

3) 1- р₁ р₂ р₃ р₄

4) (1- р₁ )(1- р₂ )(1- р₃ )(1- р₄ )

2. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ (1-(1-р₂)(1-р₃)(1-р₄)) 2) р₁ (1-р₂)(1-р₃)(1-р₄)

3) р₁ (р₂+р₃+р₄) 4) р₁+р₂р₃р₄

3. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) 1-(1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)(1-р₄) 2) (1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)(1-р₄)

3) р₁+р₂+р₃+р₄ 4) р₁р₂р₃р₄

4. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (р₁+ р₂-р₁р₂)(р₃+р₄-р₃р₄) 2) р₁р₂+р₃р₄

3) (р₁+р₂)(р₃+р₄) 4) (1-р₁р₂)(1-р₃р₄)

5. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ (р₂+р₃-р₂р₃) р₄ 2) р₁(р₂+р₃)р₄ 3) р₁ +р₂р₃ +р₄ 4) р₁(1-р₂)(1-р₃)р₄

6. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁р₂(р₃+р₄-р₃р₄) 2) р₁р₂(р₃+р₄) 3) (р₁ +р₂ )р₃р₄ 4) р₁р₂(1-р₃)(1-р₄)

7. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (р₁ +р₂ )р₃р₄ 2) р₁р₂(р₃+р₄) 3) (р₁+р₂-р₁р₂) р₃р₄ 4) (1-р₁)(1-р₂) р₃р₄

8. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (1-(1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)) р₄ 2) (1-р₁)(1-р₂)(1-р₃) р₄

3) р₄ (р₁+р₂+р₃) 4) р₁р₂р₃+р₄

9. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁(р₂+р₃-р₂р₃) 2) р₁ (р₂+р₃) 3) р₁ +р₂р₃ 4) 1- р₁(р₂+р₃-р₂р₃)

10. Система состоит из трех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (р₁+р₂-р₁р₂) р₃ 2) (р₁+р₂)р₃ 3) р₁р₂+р₃ 4) 1- (р₁+р₂-р₁р₂) р₃

11. Система состоит из трех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ р₂ р₃ 2) р₁+ р₂ +р₃ 3) 1-р₁ р₂ р₃ 4) (1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)

 

Задание 5.

1. Из 10 студентов группы 2 отличника, 3 хорошиста и 5 троечников. Отличник может ответить на все три вопроса билета с вероятностью 0,9, хорошист с вероятностью 0,6 и троечник с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на все три вопроса.

2. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут три дорожки. Если турист пойдёт по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет 0,6, по второй – 0,5, по третьей – 0,1. Найти вероятность выхода туриста из леса в течение часа, если выбор любого пути равновозможен.

3. Охотник сделал два выстрела по кабану. Вероятность двух попаданий равна 0,3, одного попадания – 0,5, вероятность промаха 0,2. Двумя попаданиями кабана можно убить с вероятностью 0,7, одним с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

4. На конвейер поступают 20 деталей из первого цеха, 30 деталей из второго цеха и 50 деталей из третьего цеха. Вероятность того, что деталь первого цеха годная равна 0,8, второго – 0,9 и третьего – 0,6. С конвейера случайным образом берётся деталь. Найти вероятность того, что она годная.

5. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой две торпеды. Вероятность попадания одной торпеды равна 0,5, двух – 0,2, промаха – 0,3. Вероятность гибели крейсера при одном попадании равна 0,3, при двух – 0,8. Вычислить вероятность гибели крейсера.

Задание 6.

1. Пусть X – случайная величина, математическое ожидание которой равно 3. Найти математическое ожидание случайной величины Y=2X-3.

 

2. Пусть X – случайная величина, дисперсия которой равна 2. Найти дисперсию случайной величины Y=3X+0,5.

 

3. Пусть X и Y –случайные величины, имеющие математические ожидания M(X)=2, M(Y)=-3. Найти математическое ожидание случайной величины Z=2X-3Y.

 

4. Пусть X и Y –случайные величины, имеющие математические ожидания M(X)=-2, M(Y)=1. Найти математическое ожидание случайной величины Z=3X-Y+1.

 

5. Пусть X и Y –независимые случайные величины, имеющие дисперсии D(X)=1, D(Y)=2. Найти дисперсию случайной величины

Z=4X-3Y-2.

 

6. Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей

Х	-2	-1
Р	0,1	0,3	0,1	0,3	0,2

 

Найти математическое ожидание случайной величины X.

 

Х	-2
Р	0,1	0,3	0,6

7. Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей

 

 

Найти дисперсию случайной величины X.

 

9. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

	-2	-1
	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найдите вероятность

10. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Тогда вероятность равна ¼

Задание 7.

1. График плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти значение .

 

2. Функция плотности равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

Найдите параметр а.

 

3. Непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке Найти вероятность

 

4. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Чему равно математическое ожидание этой нормально распределённой случайной величины.

 

 

5. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Чему равно математическое ожидание этой нормально распределённой случайной величины.

 

6. График плотности вероятности случайной величины приведен на рисунке. Чему равно значение .

7. График плотности вероятности случайной величины приведен на рисунке. Чему равно значение .

8. График плотности вероятности случайной величины приведен на рисунке. Тогда значение равно…

 

 

9. Математическая статистика

1. Найти относительную частоту варианты по данным статистического ряда:

 

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

.

Найти относительную частоту варианты .

 

3. Найти относительную частоту варианты по данным статистического ряда:

.

4.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема .

Найдите .

 

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка

. Найдите относительную частоту варианты .

 

 

6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

полигон частот которой имеет вид

 

Найдите относительную частоту варианты .

 

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Найти число вариант в выборке, если полигон частот, имеет вид

 

8. По выборке объема составлен статистический

ряд

.

Найти частоту .

9. Определить медиану вариационного ряда 5,7,9,12,12,15,16,17,18,19,21.

 

10. Определить медиану вариационного ряда 12,13,14,16,17,19.

11. Определить моду вариационного ряда

 

12. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): . Найти несмещенную оценку математического ожидания.

 

13. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 4; 5; 8; 9; 11. Найдите несмещенную оценку ее математического ожидания.

14. По выборке объема найдена выборочная дисперсия . Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

 

15. Для выборки объема вычислена выборочная дисперсия . Найдите исправленную выборочную дисперсию.

 

16. По выборке объема найдена выборочная дисперсия Найти исправленное среднее квадратическое отклонение.