Биноминальный закон распределения

Законы распределения дискретных случайных величин.

Среди законов для дискретных случайных величин наиболее распространённым является Биномиальное распределение.

Пусть с. в. Х – число появления события А в n одинаковых испытаниях, независимых относительно события А. Пусть вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р(А) = р, (0 < p < 1). Тогда вероятность противоположного события (непоявления события А) равна 1 – р = q. В этом случае для каждого конкретного n справедлива формула Бернулли:

Здесь: X = m = 0; 1; 2; ….; n – возможные значения, составляющие ПГНС. В этом случае справедливо соотношение:

Найдём выражение для математического ожидания биномиального распределения.

Рассмотрим разложение бинома Ньютона:

Продифференцируем по р последнее равенство:

Умножаем обе части равенства на р:

так как (р+q)^n-1 = 1, то получим формулу:

M(X) = np.

Аналогичным образом получим выражение для дисперсии биномиального распределения. По второй формуле для дисперсии можем записать:

Продифференцируем вторично по р разложение бинома Ньютона:

Умножаем на р² обе части последнего равенства. Учитывая, что (р + q)=1, получим:

Откуда, с учётом того, что (1- p) = q, и что для биномиального распределения M(X)=np, будем иметь:

D(X) = npq.

Наивероятнейшее число наступления события А (мода бюиномиального распределегния) определяется из двойного неравенства:

(Целое число).

Пример. Случайная величина Х – число бракованных деталей в выборке из

n = 50 штук. Вероятность брвака каждой детали р = 0,06. Найти М(Х), D(X), (X), M₀ числа бракованных деталей.

Решение.

2. Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона можно рассматривать как предельный случай биномиального распределения, когда число испытаний n стремится к бесконечности с одновременным стремлением к нулю вероятности ожидаемого в испытании события.

Задача. Пусть на ось ОХ случайным образом падают точки. Пусть случайное распределение точек на этой оси удовлетворяет трём условиям:

1. Вероятность попадания К штук точек на отрезок конечной длины L зависит только от числа К и длины этотго отрезка, причём эта вероятность пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его положения на оси ОХ;

2. Точки падают на ось независимо друг от друга, вероятность каждой точки упасть на конечный длины отрезок не зависит от того, куда упали другие точки;

3. Вероятность попадания на малый элементарный отрезочек двух или более точек преенбрежимо мала с вероятностью попадания на него одной точки.

Найти вероятность того, что на отрезок оси ОХ длиной L упадёт ровно m точек.

Решение.

Случайная величина Х – число точек, упавших на отрезок L оси ОХ. Её возможные значения: 0; 1; 2; …; m;… - число может быть бескопечно большим.

Сведём задачу к схеме, в которой применима формула Бернулли.

Разобъём отрезок L на n равных частей длиной :

На элементарный отрезок , по условию 3, может упасть только одна точка.

Пусть вероятность попадания одной точки на элементарный отрезок равна: (условие 1), тогда - вероятность непопадания одной точки.

Здесь: - коэффициент пропорциональности.

Попадание или непопадание по одной точки в каждый элементарный отрезок есть результат n независимых испытаний. Вероятность того, что из n элементарных отрезочков в число m отрезочков попадёт по одной точки подсчитывается по формуле Бернулли:

Знак пртближённого равенства обусловлен тем, что на отрезок всё же может упасть более одной точки. Для исключения такой возможности перейдём, в соответствии с условием 3, к пределу при , при этом и .

Здесь: - формула Пуассона.

Определим числовые характеристики распределения Пуассона.

=

Математическое ожидание распределения Пуассона равно: , отсюда можно дать физическое толкование в условиях рассмотреной задачи параметра - это средняя плотность числа точек (среднее число точек, падающих на единицу длины оси ОХ). В абстрактной форме – это среднее число событий, приходящихся на единицу измерения непрерывного физического папраметра (это может быть длина, время, концентрация и т. д.).

Дисперсия распределения Пуассона равна: (без вывода). Итак, одним из признаколв наличия пуассоновского распределения является равенство:

.

Прирмер. На телефонную станцию за час дневного времени поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступит не более двух вызовов .

Решение.

Найдём математическое ожидание числа вызовов за минуту. Минутная плотность вызовов равна: Тогда математическое ожидание составит величину: Искомая вероятность равна:

Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное для случая биномиального распределения, если у последнего , что может быть при очень малых и больших . В этих случаях в формуле Пуассона математическое ожидание пуассоновского распределения заменяется на математическое ожидание для биномиального распределения . При этом число ожидаемых событий не должно быть большим.

Пример. Завод сдал на базу 500 бутылок водки. Вероятность разбития при перевозки для каждой бутылки составляет величину 0,002. Какова вероятность того, что на базу прибудет 3 разбитых бутылки.

Решение.

В данной задаче точный закон распределения – биномиальный, однако формула Бернулли порактически не применима в силу большого числа n = 500. Однако, замечаем, что Дисперсия численно близка к этой величине: . Число - невелико, поэтому для решения задачи используем формулу Пуассона:

Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали р = 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей 5 нестандартные.

n = 1000, m = 5; р = 0,004; M(X) = nр = 4.

.

Если считать этот вариант по формуле Бернулли, получим ;

В случаях, когда n и m – большие числа и формулы Бернулли и Пуассона не применимы, пользуются приближённой локальной формулой Лапласа:

Здесь: - стандартная функция вероятностей (функция Гаусса), табулирована (табл. 1 приложения), её график дан ниже, см. рис. 6.По локальной формуле Лапласа для последнего примера получим: (Отличие существенное).