Теорема совместимых и несовместимых вероятностей

Два соб-я наз-ся несовместимыми, в случае если 1 соб-е исключает появление другого. Неск-ко соб-ий наз-ся попарно несовместимыми, в случае если появл-е любого из этих соб-ий исключает появление других.

Сложение вероятностей зависит от совместности и несовместности событий.

Несовместные события. Вер-ть суммы двух несовм соб А и В равна сумме вер-ей этих соб-й. Это вытекает из того, что множество С = А+В включает подмножества А и В, не имеющие общих точек, и Р(А+В) = Р(А)+Р(В) по опр вер-ти на базе меры. По частотному опр-ю вер-ти в силу несовместности соб-й имеем: P(A+B) = = + = P(A) + P(B), где n и m - число случаев появления соб-й А и В соответственно при N испытаниях.

Противоположные события также являются несовместными и образуют полную группу. Отсюда, с учетом: P() = 1 - Р(А). В общем случае для группы несовместных событий: P(A+B+...+N) = P(A) + P(B) +... + P(N), в случае если всœе подмножества принадлежат одному множеству соб-й и попарно несовм. А если эти подмножества образуют полную группу соб-й, то с учетом: P(A) + P(B) +... + P(N) = 1

Совместные события. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A×B).

Разобьем события А и В каждое на два множества, не имеющие общих точек: А', A'' и B', B''. Во множества А'' и B'' выделим события, появляющиеся одновременно, и объединим эти множества в одно множество С. Для этих множеств действительны выражения:

С = A''×B'' º А'' º В'' º А×В, P(C) = P(A'') = P(B'') = P(A×B).

P(A) = P(A')+P(A''), P(A') = P(A)-P(A'') = P(A)-P(A×B).

P(B) = P(B')+P(B''), P(B') = P(B)-P(B'') = P(B)-P(A×B).

Множества A', B' и С попарно несовм: P(A+B) = P(A'+B'+C) = P(A') + P(B') + P(С).

В общем случае, для m различных событий А₁, А₂,..., А_m:

P(A₁+...+ A_m) = P(A_i) - P(A_i×A_j) + P(A_i×A_j×A_k) -...+(-1)^m+1P(A₁×A₂×... ×A_m).

Теорема сложения: Вер-ть суммы двух несовм-х соб-й = сумме вер-тей этих соб. P(A+B+…+К)=P(A)+P(B)+…+Р(К)

Доказательство: Пусть в рез-те испытания из общего числа n равновозможных и несовм-х исходов испытания соб-ю А благоприятствует m1 случаев, а соб-ю В – m2 случаев. Согласно классич определœению P(A)=m1\n, P(В)=m2\n. Т.к соб А и В несовм-е, то ни 1 из случаев, благоприят-х 1 из этих соб-й, не благоприят-т другому. По этой причине событию А+В будет благоприятств-ть m1+m2 случаев, следовательно:

Следствие 1: Сумма вер-ей событий, образующих полную группу, равна 1: P(A)+P(B)+…+Р(К)=1, В случае если события А,В,…,К образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместимые.

ТК событияА,В,…,К – единственно возможные, то событие А+В+…+К, состоящее в появлении в рез-те испытания хотя бы одного из этих событий, явл-ся достоверным, его вер-ть = 1: Р(А+В+…+К)=1 В силу т\ч события А,В,…,К – несовместимые, к ним применима теорема сложения: Р(А+В+…+К)=Р(А)+Р(В)+…+Р(К)=1

Следствие 2: Сумма вер-ей противоположных событий = 1 Р(А)+Р(`А)=1 Это следует из т\ч противоположные события образуют полную группу.

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синœего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А) Р (А) = 10 / 30 = 1 / 3. Вероятность появления синœего шара (событие В) Р (В) = 5 / 30 = 1 / 6. События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), в связи с этим теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = l / 3 + l / 6 = l / 2.