Задача 4. Сложное движение точки

Пластина вращается вокруг прямой АВ с постоянной угловой скоростью (рисунок 10). Направление вращения определяется знаком угловой скорости. Когда , пластина вращается против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси z, если , то – по часовой стрелке при взгляде навстречу оси z.

Рисунок 10 – Схема к задаче 4

Система координат x, y, z связана с пластиной. Точка М движется из начала координат О вдоль луча, лежащего в плоскости пластины под углом к оси у. Закон движения точки М, угол и значение приведены в таблице 5.

В задаче нужно определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени с.

Таблица 5 – Исходные данные для задачи 4

Предпоследняя цифра шифра	Закон движения точки М	, рад/с	Последняя цифра шифра	, град

		- 4
		- 3
				- 30
		- 4
		- 3

		- 4		- 40

		- 2

Пример 4

Решим предложенную задачу для следующих условий:

рад/с; ; .

Изобразим пластину и оси z и y, лежащие в плоскости пластины (рисунок 11). Ось х направлена перпендикулярно плоскости пластины на нас. По правилам прямоугольной диметрии ее нужно изобразить под углом 45⁰ к оси у. Однако для наглядности рисунка это правило можно нарушить: необходимо, чтобы ось х не совпадала по направлению ни с одной из прямых, лежащих в плоскости zу.

С учетом того, что по условию задачи , изобразим стрелкой направление вращения вокруг оси z по часовой стрелке, если смотреть навстречу оси z. Отложим угол .

Рисунок 11 - Схема для решения задачи 4

Решение

Точка М участвует в двух движениях. Одно движение, относительное, она совершает вдоль луча ОМ. Другое, переносное, она совершает вместе с пластиной.

Определим вначале, где будет находиться точка М на луче

Тогда в момент времени с.

м.

Учитывая, что , угол , найдем расстояние от точки М до оси вращения z

м.

Определим все характеристики переносного движения.

м/с.

Угловая скорость вращения .

Тогда , так как и .

Нормальное ускорение определим по формуле

м/с².

Изображаем на рисунке вектор с учетом направления вращения. Вектор направляем от точки М к оси вращения.

Определим характеристики относительного движения. Скорость

.

Определим относительную скорость в момент времени с

м/с.

Поскольку , вектор направляем в сторону положительного направления отсчета величины s, т.е. от точки О.

Относительное ускорение для случая движения точки по прямой состоит только из тангенциального

.

В момент времени с м/с².

Получили , поэтому направляем вектор в сторону положительного направления отсчета величины s.

Определим кориолисово ускорение точки, модуль которого вычисляется по формуле

,

где - угол между векторами и .

Переносной угловой скоростью в задаче является угловая скорость вращательного движения пластины . Вектор лежит на оси вращения, т.е. направлен вдоль оси z или навстречу ей.

Направление вектора определяем по правилу буравчика и наносим изображение вектора в любом месте на оси вращения. Отрицательное значение скорости приводит к тому, что вектор направлен навстречу оси z.

Для определения угла между векторами и изобразим оба вектора исходящими из одной точки, например из точки М. Наименьший угол между ними легко определяется из геометрических соображений .

Тогда

м/с².

Направление вектора определяем следующим образом. Два вектора ^ образуют плоскость, которая в данной задаче совпадает с плоскостью вращающейся вокруг оси пластины.

Вектор направлен перпендикулярно этой плоскости. Направлен в ту сторону, чтобы, глядя ему навстречу, видеть поворот, который совершает вектор до совмещения с вектором по кратчайшему пути происходящим против часовой стрелки (см. рисунок 11).

Теперь вычислим и .

.

Так как ^ , т.е. слагаемые векторы взаимно перпендикулярны, используем для вычисления модуля формулу Пифагора

м/с.

Вектор определяется как векторная сумма

.

Спроектируем это векторное уравнение на оси x, y, z. Получаем

м/с²;

м/с²;

м/с².

Тогда

м/с².

Ответ: м/с;

м/с².

Список литературы

1. Теоретическая механика /Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. – 2-е изд., перераб. и доп., ил., 2005. – 35 с.

2. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике / под ред. А.А.Яблонского. – М.: Высшая школа, 1985. – 367 с.