Задача 3. Плоское движение твердого тела

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Курган – 2008

С. С. Родионов, С. И. Родионова

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания и контрольные

задания по разделу «Кинематика»

Курган – 2008

УДК 531.8(07)

Р-60

Рецензент: А.В. Фоминых, доктор технических наук, доцент Курганской государственной сельскохозяйственной академии им. Т.С.Мальцева.

Родионов С.С., Родионова С.И.Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания по разделу «Кинематика».– Курган.: Изд-во КГСХА, 2008. - 30 с.

Методические указания составлены на основании рабочей программы курса теоретической механики, содержат варианты контрольных заданий по разделу «Кинематика» и предназначены для обучения студентов по специальностям 110301.65 – «Механизация сельского хозяйства», 110302.65 – «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», 270102.65 – «Промышленное и гражданское строительство», 280104.65 – «Пожарная безопасность».

Методические указания обсуждены и одобрены на заседании кафедры теоретической механики (протокол № 2 от 23 сентября 2008 года), рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № от 2008 года).

Содержание

ВВЕДЕНИЕ. 4

Задача 1. Движение точки.. 5

Задача 2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ.. 11

ЗАДАЧА 3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.. 17

ЗАДАЧА 4. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.. 24

Список литературы.. 30

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика является основой для изучения таких дисциплин, как сопротивление материалов, строительная механика, теория механизмов и машин, детали машин и др.

Настоящие методические указания содержат задания и примеры решения задач по наиболее важным разделам кинематики: движение точки; передача вращательного движения и передаточное отношение; плоское движение твердого тела; сложное движение точки.

Для выбора студентом задания следует пользоваться шифром, которым являются две последние цифры зачетной книжки (цифра 0 соответствует варианту 10).

Решение начинается с уяснения условия задачи, перенесенного без изменения из методических указаний, т.е. рисунков и всей информации из таблицы. Текст задачи, являющийся общим для всех, можно не приводить.

Далее выполняется чертеж (эскиз) конкретного задания, на котором все данные условия задачи должны соответствовать конкретным условиям этого варианта. Чертеж должен быть крупным, аккуратным и наглядным, на нем должны быть показаны все обозначения, используемые в ходе решения задачи.

В тех случаях, когда приводится числовое значение физической величины, указывается, как правило, единица измерения. Например: 18 рад/с, 5 об. (оборотов), 3 с.

Если единица измерения не указывается, то подразумевается использование основной системной единицы. Например: S = 6t+23. В данном примере это единица длины метр. Основными системными единицами являются также:

с (секунда), м/с (метров в секунду), рад (радиан), и пр.

Если же необходимо воспользоваться внесистемной или не основной единицей измерения, то такую единицу измерения необходимо указывать во всех случаях. Например: t = 2t+4 (час.), n = 3000 об./мин., S = t²+15 (км).

Решения задач нужно сопровождать краткими пояснениями.

Задача 1. Движение точки

Точка М движется из точки А по окружности радиуса R против часовой стрелки (рисунок 1).

Рисунок 1 – Схема движения точки М по окружности

Закон движения точки на первом этапе задан уравнением . В момент времени, когда скорость точки достигнет указанного в задании значения (таблица 1), завершается первый этап. Движение точки на втором этапе происходит равномерно со скоростью .

В задаче требуется:

1 Определить: момент времени t₁, когда скорость точки достигнет заданного значения ; положение точки на окружности в этот момент; ускорение точки в конце первого этапа движения. Используя полученные результаты, выполнить схему, на которой изобразить найденное положение точки и кинематические параметры , , , .

2 Определить закон равномерного движения точки по окружности на втором этапе в естественном и координатном виде. Для обоих способов записи закона, естественного и координатного, началом отсчета времени считать начало первого этапа.

Таблица 1 - Исходные данные к задаче 1

Предпоследняя цифра шифра	Закон движения на первом этапе , м	Последняя цифра шифра	Максимальная (конечная) скорость на первом этапе , м/с	Радиус окружности R, м

Пример 1

Решим задачу для следующих условий.

Дан закон движения . Значение скорости, после достижения которой точка двигается равномерно, м/с. Радиус окружности R = 20 м.

Решение

Определим зависимость скорости точки от времени

Для момента времени, когда скорость достигнет значения , можно записать .

Отсюда

Тогда время, по истечении которого скорость точки достигнет значения , будет равно с.

Определим путь, пройденный точкой к этому моменту времени,

м.

Длина окружности м.

Очевидно, что точка несколько раз пробежит полную длину окружности. Определим число оборотов, которое выполнила точка:

об.

Положение точки на окружности можно определить, используя дробную часть этого числа N₁= 0,58 об, что соответствует углу

Изобразим на окружности это положение точки и вектор (рисунок 2).

Определим касательное ускорение точки в момент времени t₁:

;

м/с².

Нормальное ускорение определяем по формуле

где - радиус кривизны кривой.

Для момента времени t₁ получим м/с².

Тогда полное ускорение точки М

м/с².

Рисунок 2 – Положение точки М в конце первого этапа движения

Изобразим на рисунке 2 векторы ускорений . (Изображение векторов выполнено без учета масштаба ввиду значительных различий численных значений векторов и ).

2 Движение точки на втором участке характеризуется постоянной скоростью м/с.

Учитывая, что

,

получим

.

Здесь постоянная величина . Поэтому, интегрируя, получаем

или

,

где С – константа интегрирования.

Для определения константы используем момент времени t₁. По результатам решения задачи, полученным для первого этапа,

Тогда

.

Отсюда

.

Тогда на втором этапе закон движения точки в естественном виде можно записать так:

.

Определим теперь, как будет записан этот закон, если движение точки на этом этапе представить в координатном виде.

Для этого изобразим движущуюся точку М непременно в I четверти, и вектор скорости направим обязательно в положительном направлении отсчета криволинейной координаты s, даже если на самом деле скорость отрицательна. Это необходимо для получения верных аналитических зависимостей, что затруднительно (в отношении знаков), если эти требования игнорировать.

Изобразим проекции вектора на оси х и у. Тогда для оси х

.

Или

.

Учитывая, что , , , получаем

,

или

.

Решаем это уравнение и получаем закон изменения координаты х

.

Следует обратить внимание, что при интегрировании не нужно вновь записывать и определять константу интегрирования, т.к. это было сделано раньше, когда для естественного способа определяем зависимость .

Рисунок 3 – Схема для вывода закона движения

точки в координатном виде

Проектируя вектор на ось y и выполняя аналогичные операции, получим

.

Таким образом, закон движения точки по окружности в координатном виде для второго этапа имеет вид

Ответ: с;

м/с;

м/с²;

м/с²;

;

Задача 2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ

В механизме, содержащем три колеса, вращательное движение передается от колеса 1 к колесу 2 и, далее, к колесу 3 (таблица 2). Вращение передается либо во фрикционной передаче, т.е. за счет трения (Ф), либо посредством эвольвентного зубчатого зацепления (Э), либо ременной передачей (Р), либо цепной передачей (Ц).

Таблица 2 – Варианты расчетных схем для задачи 2 (номер варианта соответствует предпоследней цифре шифра)

Продолжение таблицы 2

На валах первого и третьего колес закреплены барабаны с намотанными на них нитями, на которых висят грузы А и В. Груз А опускается. Задано движение груза А в виде зависимости . При наличии необходимых данных, приведенных в таблице 2, в задаче требуется определить закон движения груза В в виде , а также указанные в столбце «Найти» скорости и ускорения соответствующих точек или тел в момент времени с.

Таблица 3 – Исходные данные для задачи 2

Предпоследняя цифра шифра Диаметры шкивов ременной передачи или колес фрикционной передачи Диаметр барабана 1 D₁, м Диаметр барабана 3 D₃, м Последняя цифра шифра Зависимость Число зубьев звездочек цепной передачи или колес зубчатого эвольвентного зацепления Найти

ведущее колесо или шкив , м ведомое колесо или шкив , м ведущая звездочка или шестерня ведомая звездочка или зубчатое колесо

0,2 0,35 0,4 0,2

0,3 0,5 0,6 0,4

0,15 0,35 0,25 0,2

0,24 0,50 0,4 0,3

0,28 0,48 0,34 0,25

0,32 0,54 0,42 0,2

0,25 0,40 0,45 0,35

0,42 0,58 0,2 0,32

0,35 0,65 0,6 0,42

0,18 0,28 0,3 0,24

Пример 2

Решим указанную задачу для исходных данных варианта 00.

Дана схема механизма (рисунок 4).

Рисунок 4 – Схема механизма

Зависимость скорости точки А от времени . Диаметр ведущего шкива ременной передачи м, диаметр ведомого шкива м, число зубьев ведущей звездочки цепной передачи , число зубьев ведомой звездочки . Диаметр барабана м, м.

Найти зависимость и для момента времени с определить значение углового ускорения третьего тела и скорость точки .

Решение

1 Определим угловую скорость первого тела. Т.к. скорость груза А равна скорости точек обода барабана, то

2 Передаточное отношение от первого колеса к третьему по определению

В рассматриваемом механизме имеется две передачи вращательного движения: от первого колеса ко второму и от второго колеса к третьему. Поэтому общее передаточное отношение механизма

Определим используя геометрические характеристики колес, передающих вращательное движение. Для первой передачи вращательного движения (для ременной передачи)

Для цепной передачи .

Таким образом, общее передаточное отношение

Тогда

3 Определим угловое ускорение колеса 3.

4 Скорость тела В равна скорости точек обода барабана 3, поэтому

В момент времени с: м/с.

5 Для определения закона движения тела В используем зависимость .

Учитывая, что получим

Разделим переменные и возьмем интеграл

По условию задачи отсчет величины начался в начальный момент времени . То есть начальные условия, необходимые для определения константы интегрирования С, могут быть записаны так:

Подставляя эти значения в последнее уравнение, получаем

Отсюда С = 0. Искомое уравнение принимает окончательный вид

Ответ: рад/с;

м/с;

ЗАДАЧА 3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кривошипно-шатунный механизм (КШМ) состоит из кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В. Кривошип совершает вращательное движение вокруг точки О в положительном направлении, т.е. против хода часовой стрелки. Скорость вращения в задаче постоянна.

Положение механизма определяется длиной кривошипа l ₁, длиной шатуна l ₂ и углом φ (рисунок 5).

Рисунок 5 – Схема механизма

Угловая скорость первого звена ω₁ и другие данные приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Исходные данные для задачи 3

Предпоследняя цифра шифра	Длина звена ОА , м	Длина звена АВ , м	Последняя цифра шифра	Угловая скорость кривошипа ω₁, рад/с	Угол поворота кривошипа , град
	0,24	0,8
	0,38	1,2
	0,25	1,0
	0,4	1,2
	0,15	0,4
	0,22	0,9
	0,35	1,1
	0,28	1,0
	0,36	1,1
	0,2	0,7

Для положения механизма, заданного в таблице 4 значением угла , найти скорость точки В, угловую скорость шатуна АВ и ускорение точки В.

Пример 3

Дан кривошипно-шатунный механизм, в котором траектория ползуна В расположена с эксцентриситетом м. Длина кривошипа ОА: м, длина шатуна АВ: м. Угловая скорость кривошипа . Для положения механизма, определяемого углом , найти скорость ползуна , угловую скорость шатуна , ускорение ползуна .

Рисунок 6 – Схема кривошипно-шатунного механизма

Решение

Построим механизм по приведенным в условии задачи величинам. Из произвольной точки О откладываем значения указанных величин в следующей последовательности: , , , . Причем все отрезки откладываем в одинаковом масштабе.

Точка А описывает окружность радиуса ОА. Шатун АВ совершает плоско-параллельное движение. Ползун В совершает возвратно-поступательное движение вдоль горизонтальной оси.

1 Определим скорость точки А, описывающей окружность с радиусом ,

м/с.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки А, а значит, нормально звену ОА. Скорость точки В направлена вдоль направляющей ползуна 3. Определим положение точки С, мгновенного центра скоростей шатуна 2, восстановив из точек А и В перпендикуляры к векторам скоростей и (рисунок 7).

Угловая скорость шатуна может быть найдена по формуле , где АС – расстояние от точки А до мгновенного центра скоростей.

Рисунок 7 – Определение мгновенного центра скоростей шатуна АВ

Скорость точки В можно найти по формуле

,

где СВ - расстояние от точки В до мгновенного центра скоростей.

Из приведенных формул видно, что для определения величин и необходимо определить размеры АС и СВ.

Рассмотрим треугольники ОСD и АВС. Видно из рисунка, что

.

Определим , рассмотрев треугольник АВМ:

,

.

Тогда м.

Из треугольника ОСВ: м.

Вычислим теперь необходимые размеры АС и СВ (рисунок 7).

м

м

м.

Вычислим угловую скорость шатуна

рад/с.

Скорость точки В: м/с.

Для определения ускорения точки В сначала найдем ускорение точки А. Точка А принадлежит вращающемуся телу ОА, поэтому ее ускорение

Для равномерного вращения кривошипа 1 касательное ускорение точки А

, т.к. угловое ускорение первого звена .

Тогда .

Нанесем на изображение механизма вектор (рисунок 8).

Точки А и В принадлежат одному телу: шатуну АВ. Тогда, приняв точку А за полюс, ускорение точки В можно выразить через ускорение полюса следующим образом: ускорение точки В складывается из ускорения полюса, т.е. точки А, и из ускорения, которое точка В приобретает во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А

.

Рисунок 8 – Схема для определения ускорения точки В

Поскольку

,

то окончательное векторное уравнение для определения ускорения точки В приобретет вид

.

Вектор направлен вдоль АВ от точки В к точке А, а по модулю

.

Вектор перпендикулярен вектору . Изобразим его в предположении того, что ускорение , т.е. направлено против часовой стрелки (рисунок 8). Учитывая, что точка В движется по прямой, направим вдоль этой прямой в положительном направлении оси х.

Для решения векторного уравнения, записанного выше для ускорений, спроектируем это уравнение на оси х, у. Отметим, что решение векторного уравнения, записанного для плоскости, возможно лишь тогда, когда уравнение содержит два неизвестных параметра (по числу осей х, у). В данной задаче такими неизвестными параметрами являются модули векторов ускорений и .

Итак, проектируем векторное уравнение, приведенное выше, на оси х и у (см. рис. 8). Для этого проектируем левую и правую части векторного уравнения поочередно на оси х и у, учитывая при этом знаки проекций.

Система двух алгебраических уравнений содержит две неизвестные величины: и . Решаем систему. Находим из второго уравнения

м/с².

Из первого уравнения

м/с².

Знак «минус» означает, что вектор ускорения в действительности направлен навстречу оси х.

На рисунке 9 дано геометрическое решение векторного уравнения для ускорения точки B, представленного выше. Здесь направления всех векторов соответствуют указанным на рисунке 8. Масштаб длины всех векторов ускорений одинаков: на странице формата А4 он равен μ_а = 10 (м/с²)/ см. Это значит, что 1 см длины вектора на рисунке соответствует величине ускорения 10 м/с². На странице формата А5 масштаб векторов ускорений .

Из произвольной исходной точки D первым откладывается вектор ускорения, известный и по модулю, и по направлению . При этом строго выполняется масштаб изображения вектора и направление его параллельно DA (рисунок 8). Затем к нему прибавляется следующий вектор – вектор . Направление его параллельно шатуну АВ.

Далее следует прибавить вектор , но т.к. модуль его неизвестен, то изображается лишь прямая, направленная перпендикулярно предыдущему вектору. Прямая, проведенная из начальной точки D горизонтально (вдоль направ -

Рисунок 9 - План ускорений механизма

ления движения точки В), замыкает векторный многоугольник, и длина получившегося вектора в выбранном ранее масштабе представляет численное значение ускорения точки В.

Геометрическое решение векторного уравнения, записанного для ускорений, называется планом ускорений.

Ответ: м/с;

рад/с;

м/с².