Правила перевода чисел между СС.

Тема 1.1. Системы счисления (базовая часть).

Цели и задачи.

Изучить правила взаимного перевода чисел между 10-й, 2-й, 8-й и 16-й системами счисления, научиться выполнять действия над числами в различных системах счисления, ознакомиться с форматами представления чисел в памяти ЭВМ.

Справочный материал.

Система счисления (далее - СС) – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

Классификация СС по способу изображения чисел:

- позиционные – значение каждой цифры зависит от ее положения в числе

Пример. Арабская десятичная система (123; 321,23).

- непозиционные – цифра не меняет своего значения при изменении её положения в числе

Пример. Римская СС, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (IV, VII, IX, XII).

Основание СС - количество цифр p, используемых для изображения числа в позиционной системе.

Пример.

Десятичная СС – основание р =10 (цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9).

Двоичная СС – р =2 (цифры 0 1).

Восьмеричная СС – р =8 (цифры 0 1 2 3 4 5 6 7).

Шестнадцатеричная СС – р =16 (цифры и буквы для двузначных чисел - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A(10) B(11) C(12) D(13) E(14) F(15)).

Значения цифр числа лежат в пределах от 0 до р -1. Запись любого числа R в СС с основанием р будет представлять собой полином вида

.

Нижний индекс определяет местоположение цифры в числе:

- положительный индекс - у целой части числа (m -разрядов),

- отрицательный индекс - у дробной части числа (s -разрядов).

Очевидно, что а_i принимает значение от 0 до р -1.

Число R представляется в виде R =a_m-1 a_m-2 …, a_-1 a₀… a_-s

Пример. Для p =10 в виде суммы запишем число 125 = 1*10 ^(3-1)+2*10^(3-2)+5*10^(3-3)_.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:

.

Пример. Для р =10 и m =2 максимальное целое число N_max =10²-1=99.

Минимальное значимое (не равное 0) число в s разрядах:

.

Пример. Для р =10 и s =2 минимально значимое число N_min =10^-2=0, 01.

Правила перевода чисел между СС.

Чтобы перевести целое число из одной СС с основанием d₁ в другую с основанием d₂ необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d₂ новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше основания d₂. Последнее частное – старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d₂, а следующие за ней цифры - это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению.

Примечание: При выполнении переводов чисел из одной СС в другую все необходимые арифметические действия выполняются в той СС, в которой записано переводимое число.

Примеры задач и образцы их решения.

Задача 1.1.1. Переведите 622,325 из 10-й системы счисления в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления (с точностью до третьего знака после запятой).

Решение.

Метод перевода чисел из 10-й системы счисления в заданную систему счисления с основанием p различается для целой и дробной части числа.

Целую часть переводят, используя последовательное деление на основание p до получения остатков от деления и частного, меньших, чем p. Результат записывается в виде числа из полученных остатков от деления в обратном порядке.

Дробная часть числа в 10-й системе счисления переводится путем ее умножения на основание p системы счисления до тех пор, пока дробная часть полученных произведений не станет равной нулю, либо до указанного количества знаков после запятой. Результат записывается в виде числа из целых частей полученных произведений в прямом порядке.

Данные методы для перевода числа 622,325 в заданные системы счисления представлены на рис. 1 и 2.

_622 2 622 _311 2 0 310 _155 2 1 154 _77 2 1 76 _38 2 1 38 _19 2 0 1 8 _9 2 1 8 _4 2 1 4 _2 2 0 2 1 62210=10011011102
_622 8 616 _77 8 6 72 _9 8 5 8 1 62210=11568	_622 16 608 _38 16 14 32 2 E   62210=26Е16

Рис. 1. Перевод числа 622 из 10-й в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления.

Рис. 2. Перевод числа 0,325 из 10-й в 2-ю системы счисления (с точностью до третьего знака после запятой).

Аналогичным образом (см. рис.2) осуществляется перевод дробной части из 10-й в 8-ю и 16-ю системы счисления. В результате получаем, что

0,325₁₀=0,246₈=0,533₁₆.

Соединим целую и дробную части переведенного числа Полный перевод числа 622,325 из 10-й системы счисления в 2-ю, 8-ю и 16-ю системы счисления

Ответ: 622,325₁₀=1001101110_,0101₂=1156,246₈=26Е,533₁₆.

Задача 1.1.2. Переведите число 1300А,1В из 16-й системы счисления в 8-ю.

Решение.

Поскольку основания 16-й и 8-й систем счисления являются степенями двойки (16=2⁴, 8=2³), то для перевода числа из 16-й в 8-ю используют 2-ю систему счисления. Сначала 16-е число переводят в 2-ю систему счисления, а затем 2-е число переводят в 8-ю систему счисления.

Рассмотрим порядок перевода 16-го числа 1300А,1В в 8-ю систему счисления.

1 3 0 0 А, 1 В16	1. Запишем число в 16-й системе счисления
0001 0011 0000 0000 1010, 0001 10112	2. Каждую цифру 16-го числа переводим в 2-ю систему счисления (см. таблицу 1 Приложения Б)
10011000000001010,000110112	3. Запишем число в 2-й системе счисления
010 011 000 000 001 010, 000 110 1102	4. Разбиваем 2-е число на триады (группы из трех цифр) от запятой влево и вправо, при нехватке цифр в триаде добавляем 0
2 3 0 0 1 2, 0 5 58	5. Каждую триаду переводим в 8-ю систему счисления (см. таблицу 1 Приложения Б)
230012,0558	6. Запишем число в 8-й системе счисления

Ответ: 1300А,1В16 = 230012,055₈.

Задача 1.1.3. Переведите в 10-ю систему счисления числа: 1110100,11₂; 162,07₈; АВ, 178₁₆.

Решение.

Чтобы перевести число из заданной системы счисления в 10-ю нужно представить число в виде полинома от основания системы счисления и вычислить его значение. Полином - представление числа в виде суммы его цифр, умноженных на соответствующую степень основания системы счисления:

1110100,11 ₂ = 1 *2⁶+ 1 *2⁵+ 1 *2⁴+ 0 *2³+ 1 *2²+ 0 *2¹+ 0 *2⁰+ 1 *2^-1+ 1 *2^-2 = =64+32+16+0+4+0+0+0,5+0,25=116,75₁₀;

162,07 ₈ = 1 *8²+ 6 *8¹+ 2 *8⁰+ 0 *8^-1+ 7 *8^-2 = 64+48+2+ =114 ;

АВ, 178 ₁₆ = А *16¹+ В *16⁰+ 1 *16^-1+ 7 *16^-2+ 8 *16^-3 = 10*16¹+11*16⁰+1*16^-1+7*16^-2+8*16^-3 = =160+11+ + + =171 .

Ответ: 1110100,11₂ =116,75₁₀; 162,07₈=114 ; АВ, 17816=171 .

Задача 1.1.4. Выполните сложение, вычитание и умножение чисел в указанных системах счисления:

а) 11101101₂+1001001₂

б) 1222,07₈-607,5₈

в) 1С,5₁₆*5,А3₁₆

Решение.

Арифметические действия в 2-й, 8-й и 16-й системах счисления выполняются по тем же правилам, что и в 10-й системе счисления. При выполнении этих действий необходимо пользоваться таблицами (см. таблицы 2 и 3 Приложения Б).

Ответ: а) 1001101102; б) 412,378; в)9F,96F16.

Задача 1.1.5. Запишите числа 23 и -125 в двоичном дополнительном коде, интерпретируя их как восьмибитовые целые числа со знаком.

Решение.

Все числа в памяти ЭВМ хранятся в виде двоичных кодов. Диапазон значений зависит от количества k разрядов (знаков, бит), выделяемых для хранения одного числа (обычно оно кратно степени двойки – 4, 8 или 16 бит).

Для целых чисел при записи в память ЭВМ используют дополнительный код. У положительного целого числа дополнительный код совпадает с его представлением в 2-ой системе счисления, дополненным слева до нужного количества разрядов нулями (прямым кодом). Диапазон положительных чисел, для хранения которых выделено k бит, составляет 0..2 ^k -1, диапазон отрицательных чисел -2 ^{k -1}+1..2 ^{k -1} (один бит требуется для хранения знака). Число 1 в крайнем левом разряде дополнительного кода означает, что закодировано отрицательное число.

Получим дополнительный код числа 23₁₀. Для этого сначала переведем 23 из 10-й системы счисления в 2-ю:

23₁₀=10111₂.

Так как в задании дополнительный код числа нужно интерпретировать как восьмибитовое целое со знаком (тип данных, содержащий 8 бит), добавим слева недостающие до нужного количества нули. В результате получим:

00010111 – это прямой код числа 23.

23 - число положительное, а дополнительный код положительных чисел равен их прямому коду, т.е. дополнительный код 23 равен 00010111.

Рассмотрим число -125. Это число отрицательное. Для записи дополнительного кода отрицательных чисел существует следующий алгоритм

а) сначала записывают число без знака в 2-й системе и дополняют слева нулями до нужного количества разрядов (т.е. получают прямой код для модуля числа);

б) затем получают его обратный код, то есть инвертируют (заменяют 0 на 1, а 1 на 0);

в) к обратному коду прибавляют 1. Полученное значение является дополнительным кодом числа.

Выполним действия по заданному алгоритму:

а) 12510=01111101- прямой код;

б) 10000010 – обратный код;

в) дополнительный код - 10000011=10000010+1.