Пример выполнения задания №2

Диск радиуса м вращается вокруг касательной O₁O₂ (рис. 2.2) с угловой скоростью (рад/c). По ободу диска движется точка M согласно уравнению (м).

Определить абсолютные скорость и ускорение точки в момент времени (c).

Решение. Выберем неподвижную и подвижную системы отсчета. Неподвижную систему отсчета Сxyz связываем с неподвижным телом, отмеченным на рис. 2.3 штриховкой. Подвижную систему отсчета связываем с диском (переносящим телом), который вращается с переносной угловой скоростью .

Таким образом, окружность радиуса м – относительная траектория точки М, а уравнение – уравнение относительного движения точки.

Рис. 2.3

Расчет скоростей

Положение точки М при c определяется центральным углом:

(рад),

что соответствует 120^o(см. рис. 2.3).

Относительная скорость точки М равна:

При c

м/с.

Вектор направлен по касательной к относительной траектории – окружности (см. рис. 2.3).

Переносную скорость V_e точки М определим как абсолютную скорость точки диска, с которой в момент времени c совпала движущаяся точка М. Имеем:

При c

рад/с, м.

Окончательно:

м/с.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости диска в положительном направлении оси Сх (см. рис. 2.3).

По теореме о сложении скоростей:

(2.1)

В рассматриваемом примере векторы относительной и переносной скоростей взаимно перпендикулярны, следовательно, модуль абсолютной скорости можно определить по теореме Пифагора:

м/с.

Модуль абсолютной скорости V_a точки М можно также определить методом проекций. Проецируя обе части векторного равенства (2.1) на неподвижные оси координат, имеем:

м/с,

м/с.

Тогда

м/с.

Направляющие косинусы вектора равны:

Расчет ускорений

Запишем векторное равенство, выражающее теорему о сложении ускорений при вращательном переносном движении

(2.2)

где и – нормальная и касательная составляющие переносного ускорения точки, и – нормальная и касательная составляющие относительного ускорения точки, – ускорение Кориолиса.

Переносное вращение происходит с угловым ускорением:

При c

рад/с².

Векторы и направлены в одну сторону вдоль оси вращения O ₁ O ₂ (см. рис. 2.3).

Переносное нормальное ускорение точки М равно абсолютному нормальному ускорению точки диска:

м/с².

Вектор направлен вдоль прямолинейного отрезка МЕ к оси вращения диска (см. рис. 2.3).

Переносное касательное ускорение точки М равно абсолютному касательному ускорению точки диска:

м/с².

Направление вектора совпадает с направлением вектора , так как векторы и направлены в одну сторону (см. рис. 2.3).

Относительное нормальное ускорение точки М определяем по формуле:

м/с².

Относительное касательное ускорение точки М равно производной по времени от относительной скорости :

При c

м/с².

Направление вектора совпадает с направлением вектора (см. рис. 3.3).

Вектор направлен вдоль радиуса к центру диска (см. рис. 2.3).

Модуль ускорения Кориолиса точки М находим по формуле:

м/с².

Ускорение Кориолиса, определяемое векторным произведением:

направлено перпендикулярно плоскости диска в отрицательном направлении оси Сх (см. рис. 2.3).

Проецируя обе части векторного равенства (2.2) на оси координат, находим:

м/с²,

м/с².

Модуль ускорения точки М равен:

м/с².

Направляющие косинусы вектора равны:

ЗАДАНИЕ № 3 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Содержание задания №3

1. Построить положение механизма (вариант схемы выбрать из рис. 3.1) по заданным размерам и углам, приведенным в табл. 3.1.

Примечание. В вариантах 2, 3, 9, 15, 16, 21, 24, 25, 27 заштрихованные треугольники считать равносторонними, в вариантах 11, 23, 29 плоскую фигуру считать прямоугольником, а в вариантах 8, 14, 19 – круговым диском, катящимся без скольжения.

2. По заданной угловой скорости ведущего звена, для заданного положения механизма определить линейные скорости всех изображенных точек и угловые скорости его звеньев.

3. По найденным величинам угловых скоростей звеньев и заданной величине углового ускорения ведущего звена, определить линейные ускорения точек, изображенных на схеме, и угловые ускорения звеньев механизма.