Лабораторная работа № 8 – 9

 

Качественный анализ нелинейных ДС

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомление с методами исследования нелинейных динамических систем и свосвами логистического отображения.

 

Исследование нелинейных ДС в MATLAB

 

Рассмотрим ДС представленную системой ОДУ

 

dx / dt = x ² + y ² – 17,

dy / dt = xy + 4.

 

Для нахождения точек равновесия этой ДС следует решить систему нелинейных уравнений:

 

x ² + y ² – 17 =0,

xy + 4 = 0.

 

Графическое решение этой системы осуществляется следующей программой (graf_ik.m):

 

x=[-sqrt(17):0.001:sqrt(17)];

y1=sqrt(17-x.^2);

y2=-sqrt(17-x.^2);

plot(x,y1,x,y2)

hold on

grid on

x1=[-4.5:0.01:-0.7];

z1=-4./x1;

plot(x1,z1,'.')

x1=[0.7:0.01:4.5];

z1=-4./x1;

plot(x1,z1,'.')

hold off

 

 

Из анализа графика следует, что имеется четыре значения х при которых функция имеет нулевые значения, это х равные –4, –1, 1 и 4.

Следующая последовательность операторов дает возможность определить соответствующие значения у -ов:

>> x=[-4 -1 1 4];

>> y=-4./x

y =

1 4 -4 -1

Таким образом, имеем следующий набор особых точек:

х у

–4 1

–1 4

1 –4

4 –1

После определения координат точки положения равновесия нужно определить характер точки. Для определения характера точки, разложим функции F ₁(x, y) и F ₂(x, y) в окрестности точек положения равновесия x ₀, y ₀, и ограничиваемся первыми тремя членами разложения:

 

Выписываем коэффициенты при линейных членах и получаем матрицу Якоби или Якобиан:

Элементы матрицы Якоби a_i,j являются постоянными величинами.

Для определения матрицы Якоби в MATLAB существует функция jacobian. входящая в Symbolic Math Toolbox.

Синтаксис функции

jacobian(f,v)

Чтобы определить характер точек равновесия следует найти собственные числа матрицы Якоби l, решая характеристическое уравнение

 

 

где I – единичная матрица или же воспользоваться функцией MATLAB eig.

Для функций f ₁ = x ² + y ² – 17 и f ₂ = x * y + 4 Якобиан вычисляется следующим образом:

>> syms x y

f=[x^2+y^2-17;x*y+4];

v=[x,y];

r=jacobian(f,v)

r =

[ 2*x, 2*y]

[ y, x]

 

Результат определения Якобиана в особых точках с использованием функции MATLAB subs, собственных значений Якобиана с использованием функции eig(а), а также характер особых точек показан в таблице:

 

>> x=-4; >> y=1; >> a=subs(r) a = -8 2 1 -4 >> eig(a) ans = -8.4495 -3.5505	>> x=-1; >>y=4; >> a=subs(r) a = -2 8 4 -1 >> eig(a) ans = -7.1789 4.1789	>> x=1; >> y=-4; >> a=subs(r) a = 2 -8 -4 1 >> eig(a) ans = 7.1789 -4.1789	>> x=4; >> y=-1; >> a=subs(r) a = 8 -2 -1 4 >> eig(a) ans = 8.4495 3.5505
Устойчивый узел	Седло	Седло	Неустойчивый узел

 

На следующем рисунке показаны некоторые траектории, соответствующие решениям вышеприведенной системы.

 

 

Логистическое отображение

(отображение Ферхюльста)