Відбір і ранжирування параметрів проводиться з метою встановлення найбільш значимих, якнайповніше пов'язаних з досліджуваними.

 

При початковому етапі ранжирування доцільно включати якомога більше чинників x_i, що гіпотетично впливають на хід процесу для оцінки всіх лінійних і квадратичних ефектів, а також ефектів взаємодії, які можу надавати істотний вплив на хід процесу. На етапі планування при виконанні лабораторних робіт бажано залишити 2...5 основних чинників x_i.

Одним із способів встановлення міри впливу окремих чинників на хід теплової обробки (ранжирування чинників) є анкетний опит фахівців.

3) Математичне планування експерименту передбачає постановку дослідів за заздалегідь складеною схемою, що має оптимальні властивості з точки зору умов об'єму експериментальних робіт і умов статистичної обробки результатів.

У основу теорії планування експерименту покладені ймовірносно-статистичні методи, що дозволяють теоретично обґрунтовано встановити мінімально необхідне число і склад експериментів, а також порядок їх проведення для отримання кількісних залежностей між параметрами, що вивчаються, і чинниками, що впливають на них

Для планування експерименту характерне:

1) прагнення до мінімізації загального числа дослідів;

2) одночасне варіювання всіма змінними по спеціальним алгоритмам;

3) використання математичного апарату, що формалізує дії експериментатора.

Така чітка стратегія підвищує ефективність експерименту, забезпечує скорочення числа дослідів і дозволяє представити результати в зручній формі.

Планування експериментів включає вибір числа і виду чинників, встановлення основного рівня і інтервалів їх варіювання, вибір матриці планування експериментів.

Вибір числа і в змінних чинників вирішується виходячи із задачі досліджень, схеми теплової обробки і ранжирування чинників. У число чинників відбираються найбільш значимі в кількості 2...5. Більше число змінних параметрів ускладнює проведення експерименту і обробку отриманих даних.

Значення, які приймають незалежні змінні X, називаються рівнями. Розрізняють основний (нульовий) рівень - центр планування експерименту, верхній рівень (+1) - максимальні значення X і нижній рівень (-1) - мінімальні значення X.

Важливим етапом при плануванні експерименту є вибір основного рівня і інтервалів варіювання чинників (параметрів). За основний (нульовий) рівень слід брати ті значення параметрів, при яких раніше були досягнуті найкращі результати, або відоме практичне впровадження. При виборі інтервалів варіювання слід мати на увазі, що вони не повинні бути надмірно вузькими або широкими. Вузькі інтервали варіювання утруднюють, а то і повністю унеможливлюють оптимізацію окремих параметрів. Широкі інтервали варіювання призводять до збільшення витрат часу на пошук оптимальних значень, а також можливі випадки проскакування екстремуму. На інтервал варіювання накладаються обмеження знизу - він не повинен бути менше можливої помилки виміру, і зверху - верхній або нижній рівні не повинні виходити за область визначення.

При плануванні експерименту прийнято значення незалежної змінної в натуральному вигляді X замінювати на кодоване (х). Для кодування значення х знаходять по формулі:

 

х = (Х – Х₀) / ΔХ, (2.3)

 

де х – кодоване значення змінної;

Х – натуральне значення змінної;

Х₀ – значення змінної на нульовому рівні;

ΔХ – інтервал варіювання:

 

ΔХ = (Х_max – Х_min) / 2. (2.4)

 

Інформацію, що показує умови планування експерименту, можна представити у вигляді таблиці. 2.1.

 

Таблиця 2.1. Умови планування експерименту

Чинники	Рівні варіювання	Інтервали варіювання
Натуральний вигляд	Кодований вигляд	-1		+1
Х1	x1
Х2	x2
Х3	x3

 

• Вибір матриці планування пов'язаний з визначенням числа, виду і порядку виконання експериментів. При виборі плану експерименту беруть до уваги вид змінних чинників, технічні можливості реалізації дослідів і інші умови. При вивченні теплових процесів мають місце лінійні, неповні квадратичні або квадратичні залежності, знаходження яких зв'язане із застосуванням повнофакторного експерименту (ПФЕ). При проведенні ПФЕ планування здійснюється на двох рівнях – верхньому (+1) і нижньому (–1). Число дослідів N залежить від числа чинників k і визначається по формулі N = 2^k. Так, для двох чинників N = 2² = 4, для трьох N = 2³ = 8, для чотирьох N = 2⁴ = 16 і так далі.

У матриці планування кожен рядок відноситься до одного з експериментів, у вертикальних стовпцях вказують номер експерименту, вид і рівень кодованих змінних (x_i), а також результати спостережень – значення y. Приклад матриць математичного планування експерименту наведено в таблиці 2.2.

 

Таблиця 2.2. Матриця повнофакторного експерименту (k=4)

Точки плану	Чинники	Вихідна величина
x1	x2	x3	x4	y
	+1	+1	+1	+1
	+1	-1	+1	+1
	-1	+1	+1	+1
	-1	-1	+1	+1
	+1	+	-1	+1
	+1	-1	-1	+1
	-1	+	-1	+1
	-1	-1	-1	+1
	+1	+	+1	-1
	+1	-1	+1	-1
	-1	+1	+1	-1
	-1	-1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	-1	-1
	-1	+1	-1	-1
	-1	-1	-1	-1

 

Здобуття вихідної інформації для статистичної обробки здійснюється при експериментах, що проводяться на лабораторних, рідше на промислових установках. Розрізняють пасивні і активні експерименти. До пасивних експериментів відносяться такі, які виконуються без залучення спеціальних математичних методів планування. До пасивних відносяться також експерименти, що проводяться в умовах, коли немає можливості направленого варіювання змінними, а здійснюється фіксація їх поточних знань.

4)Активний експеримент проводять при значеннях параметрів процесу, вибраних відповідно до певного, заздалегідь сформульованого плану. Дані, що характеризують умови проведення експериментів і отримані результати, зводять в таблицю, аналогічну матриці планування.

Результати експериментів, виконаних згідно матриці планування, дозволяють отримати регресійну залежність між параметрами оптимізації і змінними чинниками у вигляді полінома першого або другого порядку:

 

, (2.5)

. (2.6)

 

Ці рівняння називаються рівняннями регресії, в яких b_i, b_ij і b_ii – коефіцієнти регресії.

5) Статистична обробка результатів експериментів і формування математичної моделі включає знаходження коефіцієнтів в рівнянні регресії, перевірку їх значущості і адекватності моделі.

Вільний член рівняння:

 

, (2.7)

 

де N—число дослідів; у_u – значення вихідного параметра в u-м експерименті.

Коефіцієнти для лінійних членів рівнянь:

 

, (2.8)

 

де x_iu – значення i-гo чинника в рядку матриці в u-м експерименті. Коефіцієнти парних взаємодій:

 

, (2.9)

 

де x_ju – значення j-го чинника в u-м експерименті.

Враховуючи ймовірнісний характер регресійних рівнянь, слід провести їх статистичний аналіз, основною метою якого є оцінка значущості коефіцієнтів рівнянь і перевірка адекватності рівнянь

Покажемо, як оцінити значущість коефіцієнтів по t-критерію Ст`юдента. Для цього необхідно визначити:

середньоарифметичне значення у

 

; (2.10)

 

дисперсію відтворюваності для у

 

(2.11)

 

середньоквадратичне відхилення для у

(2.12)

середньоквадратичну помилку

 

(2.13)

 

розрахункове значення t - критерію Ст`юдента

 

(2.14)

 

Коефіцієнти вважаються значимими, якщо розрахункові значення t-критерію t_р більше табличного t_т, отриманого при рівні 0,05 або 0,1. Значення цього критерію для різних рівнів значущості представлено в таблиці. 2.3

 

 

Таблиця 2.3 Значення t_т –критерію Ст`юдента

Число ступенів свободи fy	Рівень значущості / Довірча ймовірність	Число ступенів свободи fy	Рівень значущості / Довірча ймовірність
0,1/0,9	0,05/0,95	0,02/0,98	0,1/0,90	0,05/0,95	0,02/0,98
	6,31	12,7	31,82		1,80	2,20	2,72
	2,92	4,3	6,97		1,78	2,18	2,68
	2,35	3,18	4,54		1,77	2,16	2,65
	2,13	2,78	3,75		1,76	2,14	2,62
	2,01	2,57	3,37		1,75	2,13	2,60
	1,94	2,45	3,13		1,75	2,12	2,58
	1,89	2,36	3,00		1,74	2,11	2,57
	1,86	2,31	2,94		1,73	2,10	2,55
	1,83	2,26	2,82		1,73	2,09	2,54
	1,81	2,23	2,76		1,73	2,09	2,53

 

Значення t_т знаходять з числа ступенів свободи, які визначають як:

f_y = N - для матриці планування без дублювання;

f_y = N·(r - 1) - при дублюванні дослідів по рядках;

f_y = M₀ – 1 - при перевірці дослідів на нульовому рівні.

Якщо t_p<t_т, то коефіцієнт є незначущим і може бути відкинутий без перерахунку останніх.

6) Перевірка адекватності отриманих рівнянь регресії полягає у визначенні дисперсії адекватності, оцінці однорідності дисперсій по критерію Фішера і порівнянні набутих значень з табличними даними.

Для лінійних і неповних квадратичних рівнянь дисперсія адекватності

 

, (2.15)

 

де - розрахункове значення по отриманому рівнянню регресії, розраховане при підстановці відповідних факторів зі строки з номером u у рівняння регресії;

- значення , отримане при чисельному експерименті;

N – число дослідів; - число значимих коефіцієнтів в рівнянні регресії у тому числі b_0.

Для оцінки однорідності дисперсій застосовують F – критерій Фішера. Розрахункові значення критерію визначають по формулах:

 

при ; (2.16)

 

при

 

де S²(y) – дисперсія відтворюваності вихідного параметра.

Табличні значення критерію Фішера F_T знаходять по таблиці 2.4 по прийнятій довірчій ймовірності і числу ступенів свободи f_ад. У теплових процесах довірча ймовірність може бути прийнята 95% (90%). Число ступенів свободи для лінійних і неповних квадратичних рівнянь:

 

f_ад = N – m. (2.17)

 

Таблиця 2.4 Відношення дисперсій по F -критерию Фішера при а=0,05 (довірча ймовірність 95%)

Число ступенів свободи для дисперсії
Більшої fу	Меншої fад
	161,0	200,0	216,0	225,0	230,0	234,0	239,0	244,0	248,0	262,0
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,39	19,45	19,47
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,78	8,66	8,58
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,96	5,80	5,70
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,74	4,56	4,44
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,06	3,87	3,75
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,35	3,15	3,03
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,98	2,77	2,64
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,54	2,33	2,18
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,35	2,12	1,96
	4,08	3,23	2,84	2,66	2,45	2,34	2,18	2,08	1,84	1,96
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,92	1,68	1,48
∞	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,91	1,83	1,57	1,35

 

Рівняння вважається адекватним для прийнятого рівня довірчої ймовірності, якщо F_p < F_t. Якщо отримане рівняння неадекватно, то даний поліном недостатньо повно відображає досліджувану залежність. В цьому випадку необхідно або змінити інтервал варіювання, або застосувати інший план.

7) Аналіз математичних моделей у вигляді рівнянь регресії виконують на завершальному етапі. Найлегше аналізу піддаються лінійні моделі. Знак при коефіцієнті показує вплив, відповідного чинника: (+) свідчить про те, що із збільшенням чинника величина відповідного вихідного параметра збільшується, а (–) означає, що вона убуває. Чим більше значення коефіцієнта, тим сильніше вплив чинника. Якщо необхідно отримати максимальне значення вихідного параметра, то значення всіх чинників, коефіцієнти b_i яких мають знак (+), слід приймати максимальними, а значення чинників, коефіцієнти b_i яких мають знак (–), –мінімальними. Абсолютні значення коефіцієнтів рівнянь регресії збільшуються із збільшенням інтервалів варіювання.

У неповних квадратичних рівняннях регресії знак (+) перед коефіцієнтом взаємодії свідчить про те, що збільшення вихідного параметра можливе лише в тому випадку, якщо взаємодіючі чинники знаходяться одночасно на верхньому або на нижньому рівні, а знак (–) означає, що один чинник знаходиться на верхньому, а інший на нижньому рівні.

Лабораторна робота № 1

Мета роботи: вивчити променистий теплообмін в системі двох сірих тіл, освоїти основи математичного моделювання у вигляді рівняння регресії, а також вивчити вплив окремих параметрів на коефіцієнт зосередженості питомого теплового потоку.