Классические методы решения задач оптимизации

Методы исследования функций классического анализа представляют собой наиболее используемые методы решения несложных оптимальных задач, которые нам известны из курса математического анализа.

Обычной областью применения данных методов для решения задач оптимизации, когда критерий оптимальности удается выразить в аналитическом виде (аналитическим выражением). Это позволяет также найти не сложное аналитическое выражение для его производных. Уравнения, полученные приравниванием нулю первых производных и определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как, правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования.

Использование метода поиска оптимума путем приравнивания нулю частных производных минимизируемой функции ограничено следующим:

1) сложность решения полученной системы уравнений, при большой размерности задачи оптимизации, так как в эту систему могут входить разнородные уравнения;

2) дополнительные трудности при решении оптимальной задачи методами исследования функций классического анализа, которые возникают вследствие того, что система уравнений, получаемая в результате их применения, обеспечивает лишь необходимые условия оптимальности. Поэтому все решения данной системы (а их может быть и несколько) должны быть проверены на достаточность. Для определения достаточности необходимо проводить дополнительные расчеты. В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не определяют экстремальные значения критерия оптимальности, а затем среди остающихся экстремальных решений выбирают решение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, т. е. наибольшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от постановки задачи.

3) методы исследования при наличии ограничений на область изменения независимых переменных можно использовать только для отыскания экстремальных значений внутри указанной области. В особенности это относится к задачам с большим числом независимых переменных (практически больше двух), в которых анализ значений критерия оптимальности на границе допустимой области изменения переменных становится весьма сложным;

4) целевая функция должна быть непрерывной и иметь первые и вторые производные, то есть для оптимизации дискретных параметров этот метод нельзя использовать;

5) параметры, определяющие оптимум целевой функции, должны не зависеть друг от друга.

Метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа позволяет находить экстремальные значения параметров для функции многих переменных в тех случаях, когда между параметрами существуют дополнительные связи. Данный метод применяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений. Необходимым условием экстремума является равенство нулю всех первых частных производных.

В основном при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограничений. В остальном, процедура поиска решений и проверки их на оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений.

Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов на основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации. При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении задач оптимизации специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность решаемой задачи.

Недостатком метода является невозможность учета ограничений в виде неравенств, а также часть трудностей реализации метода классического анализа, перечисленных в пунктах 1-4.