Взаимное положение точек в пространстве

Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.

1. На рис. 3.4 точки A и B имеют различные координаты.

 

а	б
Рис. 3.4. Варианты взаимного расположения точек: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж

 

Их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций: Y_А>Y_В, тогда точка A расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка B; Z_А>Z_В, тогда точка A расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка B; X_А<X_В, тогда точка B расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А.

2. На рис. 3.5 представлены точки A, B, С, D, у которых одна из координат совпадает, а две другие отличаются.

 

а	б
Рис. 3.5. Конкурирующие точки: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж

Их взаимное расположение можно оценить по удалённости к плоскостям проекций следующим образом:

Y_А=Y_В=Y_D, то точки А, В и D равноудалены от плоскости П₂, и их горизонтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А₁В₁]llОХ и [А₃В₃]llOZ. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₂;

Z_А=Z_В=Z_С, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П₁, и их фронтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А₂В₂]llОХ и [А₃С₃]llOY. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₁;

X_А=X_C=X_D, то точки А, C и D равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены соответственно на прямых [А₁C₁]llOY и [А₂D₂]llOZ. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₃.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 3.3 даны три пары таких точек, у которых: X_А=X_D; Y_А=Y_D; Z_D > Z_А; X_A=X_C; Z_A=Z_C; Y_C > Y_A; Y_A=Y_B; Z_A=Z_B; X_B > X_A.

Различают горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD, фронтально конкурирующие точки A и C, расположенные на фронтально проецирующей прямой AC, профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

Выводы по теме

1. Точка – линейный геометрический образ, одно из основных понятий начертательной геометрии. Положение точки в пространстве можно определить её координатами. Каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A₁(XA; YA); фронтальная – A₂(XA; ZA); профильная – A₃(YA; ZA). Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. По двум проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически.

3. Точка по отношению к плоскостям проекций может занимать в пространстве как общее, так и частное положение.

4. Точка общего положения – точка, не принадлежащая ни одной
из плоскостей проекций, т. е. лежащая в пространстве между плоскостями проекций. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Точка частного положения – это точка, принадлежащая одной или двум плоскостям проекций. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле плоскости проекций, другие две – на осях проекций.

6. Конкурирующие точки – точки, одноименные координаты которых совпадают. Существуют горизонтально конкурирующие точки, фронтально конкурирующие точки, профильно конкурирующие точки.

Ключевые слова

· Точка

· Координаты точки

· Точка общего положения

· Точка частного положения

· Конкурирующие точки