Дейчтвие 3-е. Проблема учета постоянных издержек 5 страница

 

Рис. 54

 

Таким образом, мы получим ковариации для всех возможных пар компаний. Таблица ковариаций должна получиться симметричной относительно диагонали B16:P30. Если бы мы знали не только ковариации доходностей, но и

доли капитала

xi, вложенные в каждую акцию, то могли бы рассчитать

дисперсию портфеля акций в целом по формуле

15 15

Dпортфеля =åå xi xj Ковар(Ri, R j), где

Ковар(Ri, R j)

- рассчитанные нами

i =1

j =1

ковариации доходности для всех пар компаний.

Ранее мы уже выяснили, что доли капитала, потраченные на покупку каждого из пакетов акций, должны быть переменными задачи. Выделим строку B32:P32 под такие переменные. Так как сумма всех переменных x1, x2, … x15 – должна равняться единице или 100% капитала (ячейка A33), то при постановке задачи потребуем, чтобы A33=1.

Для расчета дисперсии портфеля удобно переписать формулу для D портфеля

15 ì15 ü

 

в более удобном для расчетов виде

Dпортфеля = å xi íå x j Ковар (Ri, R j)ý. Часть

i =1

î j =1 þ

 

 

формулы в фигурных скобках – это сумма произведений долей на

 

 

соответствующие ковариации, значит ее можно записать с помощью функции

=СУММПРОИЗВ(). Тогда для Apple, например, можно вычислить значение

ì15 ü

выражения

x 1 íå x j Ковар(R 1, R j)ý

с помощью формулы

î j =1 þ

=B32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B16:P16). Запишем эту формулу в ячейку B35. К сожалению эту формулу так же неудобно протягивать. Поэтому после того, как вы все же протянете ее вправо до конца, исправьте в ней то, что необходимо. Для ориентира в ячейке J35 приведена правильная формула.

Суммирование всех ячеек строки B35:P35 соответствует первому символу суммы в формуле для D портфеля. Таким образом в ячейке A37 (Рис. 54) мы вычисляем ту самую дисперсию портфеля, которая нам необходима для решения задачи. Это и есть целевая ячейка.

Так как для сравнения удобнее использовать стандартное отклонение,

вычислим в ячейке A38 корень из дисперсии (=КОРЕНЬ(A37)).

Мы уже обсуждали здесь, как вычислить ожидаемый доход портфеля. Для этого запишем в ячейке I37 формулу =СУММПРОИЗВ(B32:P32;B14:P14). Вычисляемую тут доходность портфеля при минимизации следует удерживать на уровне не ниже заданного. Зададим минимально допустимый доход в ячейке I38.

Теперь можно ставить задачу надстройке Поиск решения. Пройдемся еще раз по необходимым установкам. Целевая функция в ячейке A37, цель – поиск минимума функции. Изменяемые ячейки B32:P32. Вид модуля для решения задачи - Standard LP/Quadratic (для продвинутого Solver’а). Опции – подразумеваются неотрицательные значения переменных (Assume Non-Negative) и не следует отмечать, что задача линейная, если используется встроенный

«Поиск решения». Ограничений всего два – сумма долей капитала, вложенных во все пакеты, равна 100% (A33=1) и средний ожидаемый доход должен быть не менее заданного I37>=I38.

A B C D E F G H I J K L M N O P   Инвестиция 0.0% 0.0% 0.0% 50.4% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 8.5% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 10.2% 30.9%   100.00% AP BO BP DB DO DP EX FI FO GE GM IN LM MS PEP           0.071         0.009         0.049 0.05   Вариация       51.89         -17.2         9.15 -12   Целевая функция             Мин. допустимый средний доход         31.83               18%                 5.64               18%

Запускаем задачу на решение и получаем результат (Рис. 55).

 

 

Рис. 55

 

Оказывается, что деньги будут вложены в 4 пакета акций. При этом ожидается доход 18%, а риск портфеля составит 5.64%. Учитывая, что речь идет о нормальном распределении для такой случайной величины, как доход, можно сказать, что с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от ~7% (18%-1.96*5.64%) до ~29% (18%+1.96*5.64%).

Что изменится, если мы попытаемся составить более доходный портфель акций? Зададим минимальный доход на уровне 25% и снова найдем минимум дисперсии.

 

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
	Инвестиция	0.0%	19.2%	0.0%	25.2%	0.0%	0.0%	0.0%	0.0%	8.6%	0.0%	0.0%	7.4%	0.0%	25.6%	14.0%
	100.00%	AP	BO	BP	DB	DO	DP	EX	FI	FO	GE	GM	IN	LM	MS	PEP
			0.0283		0.036					0.009			0.03		0.124	0.023
	Вариация		15.922		29.31					-7.79			16.88		76.39	3.547
	Целевая функция							Мин. допустимый средний доход
	134.26								25%
	11.59								25%

Рис. 56

 

 

В этом случае получается, что наименьшее стандартное отклонение портфеля составляет 11.6%. Поэтому с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от 2.3% (25%-1.96*11.6%) до 47.7% (25%+1.96*11.6%). С точки зрения минимальной прибыли разницы практически нет, но средняя прибыль существенно выше. Так что более правильным будет выбрать второй портфель. В нем, как вы видите, содержится 6 пакетов акций.

Если у вас есть настроение, попробуйте определить при каком уровне дохода нижняя граница 95%-ного доверительного интервала станет отрицательной.

Разумеется, сами по себе полученные числа мало что значат. Все дело в том, на каких условиях вы готовы вложить капитал. Если, например, вы хотите, чтобы нижняя граница не опускалась ниже 8%, то из предложенных акций вообще невозможно составить нужный пакет. Придется расширить область поиска. Убедиться в этом можно заменив условие на минимальный доход условием на нижнюю границу доходности (например I37-1.96*D38/100>=8%).

 

Если вообще снять условие на доход и оставить только требование A33=1, то мы найдем минимально возможный риск для портфеля, состоящего из предложенных акций. Он равен 3.78%, как несложно убедиться.

A B C D E F G H I J K L M N O P   Инвестиция 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7% 6.7%   100.00% AP BO BP DB DO DP EX FI FO GE GM IN LM MS PEP     0.012 0.0098 0.011 0.009 0.006 0.009 0.009 -0 0.007 0.017 0.007 0.027 0.011 0.032 0.011   Вариация 17.21 0.5106 10.82 9.717 9.717 10.78 3.772 1.445 6.815 13.01 36.3 22.74 2.601 12.13 -0.49   Целевая функция             Мин. допустимый средний доход         157.08               18%                 12.53               18%

Мы пропустили вопрос о равном распределении денег по всем пакетам акций. Давайте запишем в ячейке B32 выражение =1/15 и протянем его на все остальные переменные. Получим следующий результат (Рис. 57)

 

 

Рис. 57

 

Как мы видим, средний ожидаемый доход в этом случае равен 18%, как при первом расчете портфеля! Если у вас возникло впечатление, что, может быть, никакой минимизации и не требовалось, попробуйте оценить доверительный интервал для полученного значения риска. Вы убедитесь, что нижняя граница интервала достигла значения -6.7%, при верхней границе + 42.4%. Таким образом, этот портфель акций является довольно рискованным вложением! Во всяком случае, если вам вдруг понадобится крупная сумма наличных и вы вынуждены будете продавать акции в неблагоприятной ситуации, то ваши инвестиции принесут немалый убыток.

 

 

В заключение сделаем одно замечание, относительно приведенных данных по доходностям. Хотя приведенные величины рассчитаны на основе данных о реальных курсах акций (NYSE), но в них недостает сведений о выплаченных в эти годы дивидендах. Дивиденды могут не выплачиваться вообще, либо выплачиваться раз в несколько лет, либо несколько раз в год – это зависит от политики компаний. Поэтому реальная доходность акций может быть выше.