Дейчтвие 3-е. Проблема учета постоянных издержек 4 страница

 

Рис. 50

 

В марте наши расходы на аренду составляют 140 тыс. при лимите 200 тыс. Таким образом, 60 тыс. мы можем направить на погашение кредита. После этого мы останемся должны 54.1 тыс. (108.7+5.4-60).

В апреле мы можем выплатить остатки долга по кредиту, включая набежавшие за март проценты в сумме 2.7 тыс.

Итого по взятому кредиту нужно выплатить 22.8 тыс. Эту сумму нужно добавить к расходам по найденному оптимальному плану - 1044 тыс., что в итоге даст 1066.8 тыс. долларов. Это, к сожалению, чуть хуже найденного ранее оптимального плана (Рис. 48), при котором мы без всяких проблем укладываемся в лимиты.

 

Проведенные расчеты оставляют, однако, некоторое чувство неудовлетворенности. Ведь размер кредита мы не выбирали, а просто взяли, сколько не хватало до реализации наилучшего плана. Если уж решать задачу оптимизации, то нужно решать ее до конца. Иначе говоря, нельзя ли включить в задачу оптимизации возможность взятия кредита наиболее выгодного для нас размера?

Разумеется, можно.

Но задачу придется несколько усложнить. Добавим к задаче еще три переменных: сколько денег занять в январе и сколько долга оставить в феврале и марте. Очевидно, что, так или иначе, в апреле мы погасим все долги. Мы добавили новые переменные в ячейки E14:E16 (Рис. 51). В ячейках G14:G16 на сумму оставшегося долга начисляются проценты.

 

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
						Долг	Проценты
	январь		-	тыс.		=C14-H14	=E14*$K$14			тыс.	5%
	февраль		-	тыс.		=F14+G14- H15+C15	=E15*$K$14			тыс.
	март		-	тыс.		=F15+G15- H16+C16	=E16*$K$14			тыс.
	апрель		-	тыс.
	май		-	тыс.
	июнь		-	тыс.
	С мин.=	=СУММ(	C14:C19)+G20		=СУММ(G14:G16)

Рис. 51

 

В ячейках F14:F16 подсчитывается размер кредита (F14), а затем и остаток долга. Три переменных нам нужны для того, чтобы не оперировать отрицательными значениями кредита и долга. В установках Поиска решения мы потребуем, чтобы ячейки E14:E16 были больше, чем F14:F16. При этом по условию на переменные они еще и больше нуля. Таким образом, если долг по кредиту положителен, соответствующая переменная будет равна ему, а если отрицателен (кредит погашен), переменная будет равна нулю.

При такой организации задачи мы позволяем Поиску решения вообще не планировать кредит, если это выгоднее.

A B C D E F G H I J K   Возможный план Переменные: сколько тыс. м2 арендовать и на сколько месяцев       аренды в:   на 1 на 2 на 3 на 4 на 5 на 6   Ограничения:   январь   10.00 0.00 10.00 0.00 0.00 10.00         февраль   0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00         март   20.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00         апрель   0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00         май   30.00 10.00 0.00 0.00 0.00 0.00         июнь   0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00                   Долг Проценты           январь   568.0 тыс.   168.0 8.4     тыс. 5%   февраль   - тыс.   -23.6 0.0     тыс.     март   140.0 тыс.   -83.6 0.0     тыс.     апрель   - тыс.                 май   338.0 тыс.                 июнь   - тыс.                 С мин.= 1 054.4       8.4

Кроме сделанных исправлений уберем из списка ограничений ограничение на расходы в январе, феврале и марте. На следующем рисунке приведен результат оптимизации (Рис. 52).

 

 

Рис. 52

 

Как мы видим, кредит предусмотрен. Оказывается, как это часто бывает, невыгоден не сам кредит - невыгоден слишком большой кредит! Если же взять только 168 тыс. (соответствующим образом изменив план аренды, конечно), расходы удается уменьшить примерно на 12 тыс.

 

 

П-7. Большой портфель

Некий бизнесмен, удалясь от дел, решает вложить часть своих накоплений в размере $1 млн. в акции известных компаний. Его помощник собрал данные о доходности 15 компаний за последние 11 лет. Эти данные приведены в таблице.

 

Компания	Доход по акциям компании, %
‘90	‘91	‘92	‘93	‘94	‘95	‘96	‘97	‘98	‘99	‘00
APPLE				-46			-33	-29			-67
BOEING			-22						-25
BP AMOCO		-12	-28								-22
DEBEERS	-1		-59					-29	-26
DOW CHEM	-24										-15
DU PONT									-4		-27
EXXON					-4
FIAT	-39	-16	-23			-17	-5			-8	-10
FORD	-36	-11			-14					-13	-15
GE	-12				-7
G. MOTORS	-7	-11			-28						-28
INTEL	-3										-10
LOCKHEED	-21				-2					-62
MICROSOFT				-12							-39
PEPSICO				-2	-12					-16

 

Бизнесмен желает обеспечить доход не менее 18% в год при наименьшем риске. Он слышал, что портфель с наименьшим риском следует формировать по методу Марковица.

Суть этого подхода состоит в том, что дисперсия доходности (т.е. риск) портфеля из двух, например, видов акций, может быть меньше, чем дисперсия любой из этих акций, в случае, когда доходность по акциям меняется в противофазе. Т.е. в то время, когда доходность по одной из акций падает, по другой она обычно растет. Это видно из стандартной формулы для расчета дисперсии суммы двух случайных величин. Если в первую акцию (дисперсия s12) вложено p % денег, а во вторую (дисперсия s22) q % денег, то дисперсию портфеля можно рассчитать по формуле:

s2 портфеля = p 2s

2 + q 2s

2 + 2r

p s1 q s2

В этой формуле через r12 обозначен коэффициент корреляции между доходностями двух акций. Дисперсия такого пакета будет меньше наименьшей из двух акций, если только коэффициент корреляции не слишком близок к единице и если распределение средств по акциям не слишком ассиметрично. Разумеется, наиболее сильно дисперсия уменьшается, если коэффициент корреляции отрицателен. Увеличение числа акций в пакете снижает его дисперсию еще больше. Этот эффект известен в финансах как диверсификация портфеля.

N N

Для N видов акций эта формула имеет вид

Dïîðòôåëÿ

=åå xi x j Cov (Ri, R j),

i =1

j =1

где

Cov (Ri, R j)

- ковариации доходности для всех пар видов акций, а xi – доли

капитала, вложенные в каждый вид акций.

a. Постройте таблицу Excel, позволяющую рассчитать риск портфеля и его средний доход. Для расчета взаимных и собственных дисперсий различных акций используйте функцию Excel =КОВАР().

b. Каковы риск (корень из дисперсии портфеля) и ожидаемый доход при вложении одинаковой суммы во все акции?

c. Сформулируйте на основе построенной таблицы задачу для Поиска решения (она получится квадратичной по переменным) и найдите портфель с минимальным риском, дающий не менее 18% дохода.

d. Каков будет доход портфеля, если добиваться наименьшего возможного риска? Как возрастет риск, если потребовать не менее 25% дохода?

 

 

Решение задачи.

.

Из пояснений к методу Марковица в тексте задачи следует, что задача, вообще говоря, не является задачей линейной оптимизации. И все же характер нелинейности уравнений таков, что имеется достаточно эффективная методика решения систем подобных уравнений со многими неизвестными. В стандартной надстройке Поиск решения, поставляемой с MS Excel, для решения этой задачи следует отказаться от линейной модели и решать нелинейную задачу. При этом, судя по всему, Поиск решения сам опознает вид нелинейности и достаточно эффективно решает задачу.

Разумеется, в реальных условиях имело бы смысл выбирать не из десятка видов акций, а из тысяч, по крайней мере. И в этом случае стандартная надстройка к Excel не смогла бы помочь, так как допускает использование не более 200 переменных. Однако, кроме стандартного Поиска решения существует продвинутая программа под названием Premium Solver. Эту программу, также оформленную как надстройка к Excel с очень похожим интерфейсом, можно найти на сайте компании-создателя этого инструмента FrontLine System www.solver.com. Собственно, стандартная надстройка к Excel лицензирована компанией Майкрософт у этой же компании. Надстройку Premium Solver можно скачать бесплатно и пользоваться ею в течение двухнедельного пробного срока.

Главный модуль надстройки позволяет решать задачи с тысячами переменных и ограничений. Кроме этого, в коммерческой версии Поиска решения используется более совершенный алгоритм решения задач. Задачи, квадратичные по переменным, решаются одним модулем с задачами линейной оптимизации (Standard LP/Quadratic), в то время как все остальные нелинейные задачи решаются с помощью другого модуля - GRG Nonlinear Solver - менее эффективными по скорости и результатам методами.

Для решения задачи введем на страницу MS Excel заданную таблицу доходностей по годам (Рис. 53). Для удобства дальнейшей работы исходная таблица повернута (транспонирована). В строке B14:P14 с помощью функции Excel =СРЗНАЧ() сосчитана средняя доходность каждой акции за 11 лет в процентах. Эти данные необходимы для расчета ожидаемой доходности. Фактически мы при этом полагаем, что средняя доходность по акциям каждой компании не изменится в ближайшем будущем. Так как ожидаемая доходность – величина случайная, то мы можем утверждать, что для следующего года ожидаемую доходность можно рассчитать как случайную величину с нормальным распределением, с математическим ожиданием, равным среднему значению, и

 

 

стандартным отклонением, равным стандартному отклонению, рассчитанному по прошлым значениям доходности.

Чтобы сформировать портфель акций нужно решить, какую часть денег потратить на покупку пакетов каждой из акций. Если мы решим этот вопрос, то ожидаемая доходность портфеля в целом будет равна сумме произведений долей акций в портфеле на их доходность. Таким образом, максимально возможная доходность портфеля акций равна доходности самой прибыльной из акций (в нашем случае MS – 48%), а минимально возможная доходность портфеля – доходности самой непривлекательной акции (в данном случае FI). В этих крайних случаях портфель акций будет содержать акции только одной компании.

A B C D E F G H I J K L M N O P   Доход по акциям компании, %                             AP BO BP DB DO DP EX FI FO GE GM IN LM MS PEP           -1 -24     -39 -36 -12 -7 -3 -21             -12         -16 -11   -11               -22 -28 -59       -23                   -46                         -12 -2                 -4   -14 -7 -28   -2   -12                   -17                   -33             -5                   -29     -29                             -25   -26   -4                                     -8 -13       -62   -16     -67   -22   -15 -27   -10 -15   -28 -10   -39       Средняя доходность, %     =СРЗНАЧ(B3:B13)                     -1

В этой задаче, поэтому, не имело бы смысла максимизировать доходность портфеля – она и так известна. Наша задача – составить портфель акций так, чтобы при заданной средней доходности портфеля ее стандартное отклонение для портфеля в целом (т.е. риск портфеля) было минимальным.

 

 

Рис. 53

 

 

Продолжим построение таблицы и для этого добавим в нее часть, позволяющую рассчитывать дисперсии доходности для каждой из акций и их взаимные дисперсии (так называемые ковариации). Чтобы подсчитать ковариации доходностей всех пар для 15 акций нужно, конечно, иметь таблицу размером

15х15 ячеек. Для удобства добавим вертикальный столбец с названиями компаний (A16:A30) (Рис. 54). В каждой из 225 ячеек должно содержаться значение ковариации доходностей соответствующей пары компаний. Скажем в ячейке B17, соответствующей паре компаний Apple-Boeing (столбец – строка), должна быть формула =КОВАР($C$3:$C$13;B$3:B$13), где столбец $C$3:$C$13 показывает доходность акций Boeing, а столбец B$3:B$13 – доходность акций Apple. Так как эту формулу нужно протягивать, то адреса ячеек частично фиксированы. При протягивании формулы вправо должны вычисляться ковариации доходностей всех других компаний с доходностью Boeing, поэтому столбец полностью фиксирован. Мы не будем отдельно вычислять дисперсию доходности Boeing, так как выражение вида =КОВАР($C$3:$C$13; C$3:C$13) и так вычисляет эту дисперсию.

К сожалению, протянуть введенную формулу вертикально так, чтобы сразу получились верные формулы нельзя, так как в первом столбце формулы для ковариации при протягивании будут меняться номера строк, а не имена столбцов.

Поэтому придется сначала протянуть формулу вверх и вниз на оставшиеся компании, потом скорректировать ссылки на столбец доходности для каждой компании, а после этого протягивать полученные формулы вправо.

 

 

A B C D E F G H I J K L M N O P     Взаимная дисперсия (ковариация)                     APPLE =КОВАР($B$3:$B$13;B$3:B$13) -106 -208 -423     -277 -1773   -599   BOEING =КОВАР($C$3:$C$13;B$3:B$13)   -13 -377   -119     -484     BP =КОВАР($D$3:$D$13;B$3:B$13)     -132       -301   -208   DEBEERS   =КОВАР($E$3:$E$13;C$3:C$13)   -599     -35 -98 -150 -350   DOW CH   -54                     -70   -102   DU PONT -73                               EXXON -106     -46       -71                 FIAT -208 -13         -71     -86 -7 -114 -62 -53 -330   FORD -423 -377 -132 -599                   -67     GE               -86                 GM   -119           -7           -106 -24   INTEL -277     -35       -114                 LM -1773   -301 -98 -70     -62           -364     MS   -484   -150       -53 -67   -106   -364       PEPSICO -599   -208 -350 -102     -330     -24                                             Инвестиц и 0.0% 0.0% 0.0% 50% 0.0% 0.0% 0.0% 5.2% 8.2% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 4.0% 33%   =СУММ( AP BO BP DB DO DP EX FI FO GE GM IN LM MS PEP     =B32*B14/100 0.07       -0 0.01         0.02 0.05   Вариация =B32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B16:P16) =J32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B24:   Целевая функция           Мин. допустимый средний доход       =СУММ( B35:P35)           =СУММПРОИЗВ(B32:P32;B14:P14)/100   =A37^0.5               15%

P