Порядок проведения и математической обработки результатов статистических измерений

Для того чтобы проверить большую партию изготовленных одинаковых деталей по какому-то одному размеру не требуется измерять каждую деталь, достаточно сделать это, например, для каждой десятой детали (10%), то есть произвести выборку и по результатам этой проверки судить о годности остальных 90%.

При измерениях одного и того же размера в выборке, так же как и во всей партии деталей измеренные значения несколько отличаются друг от друга. Если количество измерений в выборке невелико, то для определения доверительного интервала более полного разброса их значений необходимо провести статистическую обработку результатов измерений.

Статистическая обработка результатов измерений производится следующим образом.

Имеются следующие исходные данные:

номинальный размер детали Х и его допуск T, на чертеже обозначаемые как Х ± Т;

N – количество измеренных деталей, один и тот же размер которых несколько отличается между собой по величине или равный у некоторых деталей. Обычно в исходных данных задачи результаты измерений записаны в хаотическом порядке.

 

Решение

1) Располагают полученные в процессе N измерений действительные значения X_i в порядке возрастания их величины и тем самым получают ранжированный ряд случайных дискретных величин: X₁; X₂…X_N.

2) Диапазон рассеивания R определяется как разность между максимальной X_MAX и минимальной X_MIN величинами действительных значений измерений:

 

R = X_MAX – X_MIN.

 

3) Полученное значение диапазона рассеивания разбивают на K интервалов (рекомендуется 7 – 12 интервалов). Задавшись числом интервалов, рассчитывают дискретный шаг интервалов по формуле:

 

P = R/K.

 

4) Строят оси гистограммы абсцисс и ординат. Масштаб гистограммы выбирают таким, чтобы её высота относилась к основанию примерно как 5:8. На оси абсцисс в начале координат ставят значение X_1, равное X_MIN, а в конце оси ставят значение X_N, равное X_MAX

Полученный отрезок оси делят на K равных по длине интервалов и записывают напротив каждой границы её числовое значение: X_1; X₁₊P; (X₁₊P)₊P и так далее. Конечное значение должно совпасть с X_N.

5) Для каждого интервала подсчитывают число измерений n_j, имеющих величину, находящуюся в пределах между меньшей, например, X₁ и большей X₁₊P границами этого интервала и так далее.

6) После этого для каждого интервала рассчитывают среднее арифметическое значение X j_СР в группе измерений j -того интервала, а также частость числа измерений

n_j /(N – 1) в данном интервале.

Результаты измерений и расчётов пунктов 1), 5) и 6) заносят в таблицу.

Пример таблицы с записями значений случайной величины при N =16 и К =7 приведён в таблице 3.1 (вместо букв «ранжированный ряд» надо поставить измеренные величины по возрастанию X₁; X₂…X₁₆. В первый интервал вошли X₁ и X₂, во второй – X_3, X₄ и X₅. И так далее для каждого интервала.

Таблица 3.1 – Записи значений случайной величины X_{i (ИТОЕ)}

Номер измерения

Хi (ИТОЕ)

р

а

н

ж

и

р

о

в

а

н

X jСР (ЖИТОЕ)

(р + а)/2

(н + ж + и)/3

(р+о+в+а+н)/5

nj (ЖИТОЕ)

nj /(N – 1)

2/15

3/15

1/3

Продолжение таблицы 3.1

Номер измерения
Xi (ИТОЕ)	н	ы	й	р	я	д
X jСР (ЖИТОЕ)	(н+ы)/2	(й+р+я+д)/4
nj (ЖИТОЕ)
nj /(N – 1)	2/15	4/15

где X_i – значение i -того измерения;

n_j – число измерений, имеющих величину, находящуюся в пределах между меньшейи большей границами j -того интервала;

n_j /(N – 1) – частость числа измерений в данном интервале.

X _jСР – среднее арифметическое значение измерений j -того интервала (рассчитывается для каждого интервала):

 

,

Х_ij – (икс итое-житое) – измерение X_i в j -том интервале_, то есть находящееся в пределах между меньшейи большей границами j -того интервала;

n_j /(N – 1) – частость числа измерений в данном интервале.

 

В таблице в приведенном примере всего 5 размерных интервалов вместо 7 потому что, например, в двух интервалах значений размеров не оказалось: в первом интервале – 2 значения измерений (1 и 2), во втором – 3 (3, 4 и 5) и так далее, а в четвёртом и шестом, например, их нет. Пустые интервалы в таблице не указываются.

7) Над каждым интервалом строят прямоугольник, соответствующий по своей высоте величине рассчитанной частости n_j /(N – 1) для этого интервала, после чего строят эмпирическую ломаную кривую, соединяя серединки верхних перекладин прямоугольников. Если в каком-то интервале частость равна нулю, то ломаную кривую соединяют с серединкой интервала на оси абсцисс.

 

 

8) Определяют среднее арифметическое значение всех замеренных действительных значений величин:

.

Рисунок – Пример построения гистограммы

 

9) Рассеяние значений случайных величин в выборке из N измерений относительно эмпирического (опытного, практического) группирования их по интервалам характеризуется уточнённым эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле:

.

10) По результатам выборки устанавливают границы, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание F(x) случайной величины Х. Эти границы определяют доверительный интервал, который зависит от доверительной вероятности β. В общем случае при малой выборке и различной доверительной вероятности доверительный интервал в своих меньшей и большей границах выразится следующими неравенствами:

Х_СР – t_δσ_{х ср} F(х) Х_СР + t_δσ_{х ср ,}

 

где σ_{х ср} – среднее квадратическое отклонение для распределения средних арифметических величин:

σ_{х ср} ;

t_δ – критерий Стьюдента, который для β=0,9 (90% доверительная вероятность) принимаем равным 1,75.

 

11) Сравнивают границы доверительного интервала с допуском на размер (он задан в условии задачи) и делают вывод о годности всей партии деталей. Для сравнения строят в примерном масштабе схему поля допуска заданного размера X и рядом наносят поле доверительного интервала.

Если границы доверительного интервала не выходят за пределы поля допуска, то партия деталей считается годной с доверительной вероятностью β.

12) Ответом на решение задачи является вывод о годности партии деталей: партия деталей годна или не годна с указанием сравниваемых величин большей и меньшей границ доверительного интервала и верхней и нижней границ поля допуска детали.

 

 

Условие задачи

В партии одинаковых деталей у каждой из них измеряется один и тот же размер. Так как количество деталей в выборке для измерений невелико, то для определения доверительного интервала более полного разброса значений размера необходимо провести статистическую обработку результатов измерений.

Изготовлена большая партия круглых стержней и из неё сделана выборка в количестве N =16 штук. Измерен диаметр каждого стержня d₁, d₂ … d_N. Для определения годности всей большой партии деталей необходимо построить гистограмму и провести статистическую обработку результатов измерений деталей в выборке.

Исходные данные: N =16 штук – количество стержней; d ± IT мм – номинальный диаметр стержня d (из таблицы 3.2) с допуском IT на изготовление (из таблицы 3.3); размерный неранжированный ряд: d₁; d₂...d₁₆ (из таблицы 3.2).

Требуется:

произвести измерения и занести полученные значения случайных величин в таблицу;

построить гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения размеров стержней в партии;

определить доверительный интервал значений измерений диаметров стержней;

сделать заключение о годности всей партии стержней путём сравнения границ доверительного интервала с величиной поля допуска номинального размера.

Варианты номинальных диаметров стержней и результатов измерений выборки из партии выбираются по последней цифре учебного шифра из таблицы 3.2, варианты величины допуска на размер – по предпоследней цифре учебного шифра из таблицы 3.3.

Таблица 3.2 – Варианты номинальных диаметров стержней деталей и результатов измерений выборки из партии, мм

№вар ианта	d	Номер и результат измерения
d1	d2	d3	d4
		24,85	24,90	24,90	25,02
		27,86	27,91	27,91	28,10
		31,87	31,92	31,92	32,05
		39,88	39,93	39,93	40,07
		44,89	44,94	44,94	45,08
		49,85	49,90	49,90	50,01
		55,86	55,91	55,91	56,02
		62,87	62,92	62,92	63,03
		70,88	70,93	70,93	71,06
		79,89	79,94	79,94	80,07

Продолжение таблицы 3.2

№вар ианта	d	Номер и результат измерения
d5	d6	d7	d8
		25,02	25,10	25,10	25,10
		28,10	28,15	28,15	28,15
		32,05	32,12	32,12	32,12
		40,07	40,13	40,13	40,13
		45,08	45,14	45,14	45,14
		50,01	50,15	50,15	50,15
		56,02	56,10	56,10	56,10
		63,03	63,12	63,12	63,12
		71,06	71,14	71,14	71,14
		80,07	80,15	80,15	80,15

 

Продолжение таблицы 3.2

№вар ианта	d	Номер и результат измерения
d9	d10	d11	d12
		24,86	24,89	24,99	25,03
		27,88	27,90	27,99	28,01
		31,89	31,91	32,02	32,03
		39,87	39,92	39,98	40,03
		44,88	44,93	44,98	45,01
		49,86	49,91	49,97	50,02
		55,87	55,92	55,99	56,03
		62,88	62,93	62,98	63,04
		70,87	70,91	70,97	71,04
		79,87	79,93	79,99	80,01

 

Продолжение таблицы 3.2

№вар ианта	d	Номер и результат измерения
d13	d14	d15	d16
		25,04	25,03	25,11	25,11
		28,03	28,05	28,14	28,13
		32,05	32,02	32,13	32,14
		40,02	40,03	40,14	40,12
		45,03	45,04	45,13	45,11
		50,04	50,03	50,16	50,16
		56,01	56,05	56,12	56,13
		63,02	63,01	63,13	63,14
		71,03	71,01	71,15	71,15
		80,02	80,04	80,16	80,12

Таблица 3.3 – Варианты величины допуска на размер, мм

№ вари- анта
IT	±0,11	±0,12	±0,13	±0,14	±0,15	±0,16	±0,17	±0,18	±0,19	±0,10

 

Задача 4

Тема: «Штриховое кодирование информации о товаре»

 

Теоретическая часть

Штриховое кодирование стало впервые применяться в США для идентификации железнодорожных вагонов и, вследствие этого в промышленности и торговле появился универсальный товарный код (URC), состоящий из 12 знаков.

В 1977году по примеру американской была принята европейская система кодирования товаров (EAN – European Article Nambering) как разновидность кода URC для Европы, отличаясь только тринадцатым знаком. В европейской системе кодирования для товаров из США тринадцатым знаком является ноль.

В настоящее время практически 100% продукции, выпускаемой в развитых странах мира для потребительского рынка, имеет на упаковке штриховой код EAN, определяющий производителя и товар.

Штриховой код – это чередование тёмных и светлых полос разной ширины. Носителями закодированной информации являются относительные ширины тёмных и светлых полос и их сочетания. Тёмные полосы называют штрихами, а светлые – пробелами. Ширина штрихов и пробелов всегда кратна модулю, равному по ширине самому узкому из них. Другие штрихи и пробелы составляют два или три модуля, то есть две или три толщины самого узкого штриха или пробела. Узкий штрих соответствует единице, а пробел – нулю в двоичной системе исчисления.

Штриховые коды делятся на товарные и технологические. Первые используются для идентификации производителей товаров и самих товаров, ими производимых. Вторые, с гораздо большим числом знаков – для передачи более подробной информации о производстве товара от производителя к другому производителю или оптовому поставщику для автоматизированного сбора информации и её последующей компьютерной обработки. Вторые могут располагаться на этикетке рядом с первыми, отличаясь шириной кода и количеством цифр.

Штриховые коды считываются специальными сканерами, которые, воспринимая штрихи, пробелы и их сочетания, декодируют штриховой код в цифровой и осуществляют ввод информации в ЭВМ.

Штриховые коды EAN бывают двух видов: 13-разрядные и 8-разрядные. Код товара включает код страны, в которой предприятие-изготовитель зарегистрировало этот товар, код предприятия-производителя товара, код самого товара и контрольное число. Коды стран бывают двухразрядные, например, код Великобритании – 50, и трёхразрядные (код Тайваня - 471). При этом, ряду стран выделены диапазоны кодов, например, России 460-469. Если код страны трёхразрядный, то код товара будет четырёхразрядным вместо пятиразрядного.

Примеры штриховых кодов представлены на рисунках 1 и 2, примеры кодов некоторых стран – в таблице 4.

Рисунок 1 – Схема кода EAN-13

 

После кода страны следуют пять цифр кода изготовителя, который в РФ присваивает конкретному предприятию изготовителю товара национальный орган страны Внешнеэкономическая ассоциация автоматической идентификации ЮНИСКАН.

Последующие пять цифр кода присваивает само предприятие-изготовитель товара. Они отражают какие-либо признаки продукции.

Последний 13-й разряд представляет собой контрольное число для проверки правильности считывания штрихового кода.

Если товар имеет небольшие размеры и площади, то из-за недостатка места для размещения штрихового кода на этикетке товара применяют 8-ми разрядный код EAN-8, который включает код страны, код изготовителя и контрольное число.

 

Рисунок 2 – Схема кода EAN-8

 

 

Числовые значения штрихового кода применяется для читки кода покупателем. Сканер его не считывает.

Контроль кода по величине контрольного числа необходим для проверки его правильности сканером по штрихам и покупателем по цифрам.

 

4.2 Методика расчёта правильности штрихового кода

1) Суммируют цифры, стоящие в коде на чётных местах.

2) Полученный результат умножают на три (множитель 3 принят для кодов EAN-13 и EAN-8).

3) Суммируют цифры, стоящие в коде на нечётных местах (без последнего контрольного числа).

4) Суммируют результаты двух последних действий.

5) Полученный результат суммируют с цифрой-контрольным числом. При правильном написании штрихового кода должно получиться число, кратное 10 (десяти)

.

Задание

По этикетке любого товара (кроме сигарет, алкогольных напитков, тетрадей и ручек), имеющей 13-значный штриховой код, определить следующие характеристики товара.

1) Наименование и модель товара (по надписи на этикетке).

2) Характеристики товара (по надписи на этикетке).

3) Страну, зарегистрированную на штриховом коде (по цифрам штрихового кода) сравнить с надписью на этикетке.

4) Предприятие-изготовитель (по надписи на этикетке) и соответствующие ему цифры кода (по цифрам штрихового кода).

5) Рассчитать правильность штрихового кода (по цифрам штрихового кода).