Визначений інтеграл. Поняття визначеного інтегралу

Нехай функція f(x) визначена на проміжку [a,b] розіб’ємо цей проміжок точками x_i на n частинних проміжків[x_i-1, x_i] при чому виконуються наступні нерівності:

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n = b

Позначимо – довжина частинного проміжку [x_i-1, x_i]

– діаметр розбиття сегмента [a,b]

На кожному сегменті [x_i-1, x_i] візьмемо довільну точку ε_i , обчислимо значення функції в цій точці і складемо наступну суму:

 

Точки ε_i – називають проміжками на сегменті [x_i-1, x_i]

Сумі (1) називають інтегральною сумою (або сумою Рімана)

Сума (1) відповідає даному розбиттю сегмента і даному проміжних точок.

Означення. Число I називається границею інтегральних сум при , якщо розбиття сегмента [a,b] з діаметром і вибору проміжних точок частинами сегменту () виконується нерівність

Якщо ця границя існує, то її називають визначеним інтегралом на проміжку [a,b] і позначають , де a і b – відповідно нижня і верхня границя інтегрування; x – змінна інтегрування; f(x) – підінтегральна функція; f(x)dx – підінтегральний вираз

Якщо визначений інтеграл існує, то функцію f(x) називають інтегрованою за Ріманом на проміжку [a,b].

Геометрична інтерпретація інтегральної суми та визначеного інтегралу

неперервна і невід’ємна на [a,b]

Побудуємо графік цієї функції

Означення. Криволінійною трапецією називають площу, обмежену графіком функції

y=f(x) віссю Ох і відрізками прямих x=a та x=b.

З геометричної точки зору інтегральна сума являє собою площу ступінчатої фігури, заштрихованої на нашому рисунку.

А визначений інтеграл площа криволінійної трапеції.

Будемо позначати розбиття сегмента [a,b] символом Т або Т[a,b]

Твердження 1. Якщо функція f(x)необмежена на [a,b], то вона не інтегрована на цьому сегменті.

Дійсно для будь-якого розбиття хоча б на одному з часткових сегментів

[x_i-1, x_i] функція необмежена. А це означає, що за рахунок вибору проміжної точки ε_i часткову суму можна зробити як завгодно великою(за модулем)

А це означає, що множина інтегральних сум { } є необмеженою. Звідси випливає, що не існує скінчена границя інтегральних сум, коли .

Твердження 2. Якщо функція f(x) обмежена на сегменті [a,b], то це ще не означає, що вона інтегрована на цьому сегменті.

Розглянемо приклад: функція Діріхле.

Очевидно, що ця функція є обмеженою на цьому проміжку, покажемо, що вона не інтегрована.

Розіб’ємо [a,b] на n часткових сегментів [x_i-1, x_i] і складемо дві інтегральні суми.

де всі - раціональні числа

де всі - ірраціональні числа

З (1), (2) випливає, що

СУМИ ДАРБУ

Нехай функція f(x) визначена на проміжку [a,b]. Розіб’ємо цей проміжок на n частинних проміжків [x_i-1, x_i].

Введемо позначення: ,

Введемо дві суми:

Ці суми називаються нижніми і верхніми сумами Дарбу, що відповідають даному розбиттю сегмента [a,b].

Твердження 3. Нехай , s, S – нижня і верхня суми Дарбу, що відповідають даному розбиттю [a,b], тоді для будь-якого вибору проміжних точок ε_i виконується нерівність

Якщо задане розбиття сегмента [a,b] на n [x_i-1, x_i], то виконується нерівність

( вибору ε_i)

Отже, (i=1,2,…,n)

Просумуємо ці нерівності:

Отже, виконується нерівність (*), що і треба було довести.

Відзначимо, що нижню і верхню суму Дарбу можна подати у вигляді

,

(для даного розбиття [a,b])