Наслідок з теореми Кантора

ПОНЯТТЯ РІВНОМІРНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТІ ФУНКЦІЇ. ТЕОРЕМА КАНТОРА

Нехай функція y=f(x) визначена на замкнутому інтервалі [a, b]. Функція f(x) називається неперервною в точці х=х₀, якщо:

1) =f(x₀) (формальне означення).

Функція f(x) називається неперервною в точці х=х₀, якщо:

2) ∀ε>0 ∃δ(ε)>0 ∀ x ∈ [a,b] |x-x₀|< δ |f(x)-f(x₀)|< ε (за Коші (на мові ´´ε – δ ´´).

3) ∀ {x_n}->x₀ (∀n ∈ N, x_n ∈ [a,b] {f(x)}-> f(x₀) (за Гейне (мова послідовностей)).

Функція f(x) називається неперервною на множині Х, якщо вона є неперервною у кожній точці цієї множини, тобто, якщо ∀ x ∈ X ∀ ε>0 ∃δ(ε,x)>0:

∀ x´ ∈ X, |x-x´|< δ: |f(x)-f(x´)|< ε.

Функція y=f(x) називається рівномірно неперервною на множині Х, якщо ∀ ε>0 ∃δ(ε): ∀ х, x ´ ∈ X |x- x ´|< δ: |f(x)- f(x ´)|< ε.

Відзначимо, що для рівномірної неперервності число δ одне для всіх точок x ∈ X (залежне від ε). А при «звичайній» неперервності у загальному випадку своє δ для кожного х. (Причому спільно δ не існує).

Приклад 1

y=f(x)=x² X =[-l; l], l- const(l>0)

Доведемо, що ця функція буде рівномірно неперервною. Треба довести, що ∀ ε>0 ∃δ(ε)>0: ∀ x´, x´ ∈ [-l;l], |x´-x´´|< δ, |(x´)² - (x´´)²|< ε.

Розглянемо останню нерівність:

|(x´)²-(x´´)²|=|x´-x´´|*|x´+x´´|<|x´-x´´|*||x´|+|x´´||< δ*2l= ε, де |x´ - x´´|< δ, |x´ + x´´|<2* δ.

Звідси маємо, що δ=

Приклад 2

y=f(x) = x² X = (-∞; +∞)

Побудова заперечення

1) ∀→∃

2) ∃→∀

3) <→≥

∃ ε>0: ∀ δ>0 ∃ x´, x´ ∈ (-∞; +∞), |x´-x´´|< δ |(x´)²-(x´´)²|≥ ε

x´= , x´´= + |x´-x´´|= < δ

|(x´)²-(x´´)²|=|x´-x´´|*|x´ + x´´|= ≥1= ε

∃ ε=1: ∀δ>0, ∃ , + ∈ (-∞; +∞), |x´ - x´´|< δ, |(x´)²-(x´´)²|≥ ε. Отже, ми довели, що на нескінченному проміжку функція є рівномірно неперервною.

Теорема Кантора

Означення

Якщо функція f(x) неперервна на сегменті [a;b], то вона рівномірно неперервна на цьому сегменті.

Доведення(від супротивного)

Нехай умова теоремі виконана, тобто f(x) неперервна на [a;b], але не рівномірно неперервна. Це означає, що треба довести, що ∀ε>0 ∃δ(ε)>0 ∃ x´, x´´ ∈ [a,b] |x´ - x´´|< δ |f(x´) - f(x´´)|≥ ε.

Візьмемо послідовність { δ _n}→0 (∀ n ∈ N δ _n>0) з додатних чисел, що збігається до 0.

(Наприклад, δ _n= ). ∀ δ _n>0 x_n´, x_n´´ ∈ [a,b], |x_n´-x_n´´|< δ_n |f(x_n´)-f(x_n´´)|≥ ε (1) (Припущення, що (1) правильне).

Ми побудували дві послідовності: {x_n´}, {x_n´´}. Оскільки послідовність {x_n´} складається з елементів сегмента [a, b], то вона є обмеженою і тому згідно з теоремою Больцано - Вейерштрасса з неї можна виділити збіжну послідовність {x_nk´}.

Нехай =x₀ (2), очевидно, що x₀ ∈ [a,b].

Розглянемо |x_nk´´-x₀|=|(x_nk´´ - x_nk´)+(x_nk´-x₀)| |x_nk´´ - x_nk´|+|x_nk´ - x₀|→0, де |x_nk´´- x_nk´|, |x_nk´-x₀|→ 0 (при k→∞). Це означає, що →x₀ (3). Оскільки за умовами теореми функція f(x) неперервна на сегменті [a,b], то вона буде тепер і в точці x₀, що належить сегменту.

Згідно з означенням неперервності функції в точці за Гейне, одержимо, що

) = f(x₀), ) = f(x₀). Звідси випливає, що |f(x´_nk)-f(x´´_nk)|→0(при k→∞)(4). Одержана умова (4) суперечить умові (1), якщо замість послідовності {x_n} взяти {x_nk}. Одержане протиріччя доводить теорему.

Означення

Коливанням функції f(x) на проміжку [a, b] називається ω=M-m, де M=sup _{x∈ [a,b]} f(x), m=inf _{x∈ [a,b]}f(x).

Наслідок з теореми Кантора

Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a,b]. Тоді ∀ε>0 ∃δ >0 таке що, якщо розбити проміжок [a, b] довільним чином на частинні проміжки з довжинами менше, ніж δ, то коливання функції f(x) на цих проміжках не перевищує ε.

Оскільки функція f(x)=x² неперервна на [-l, +l], то за наслідком випливає, що вона рівномірна (суттєво, що проміжок замкнений). Контрприклад: y= , [0,1].

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ