Розглянемо кілька спрощених математичних моделей описання економічної системи.

Функція Кобба—Дугласа

Якщо розглядати економіку з погляду макропідходу (див. тему 3), коли вона не підлягає дальшому поділу, то її можна подати у вигляді моделі «чорного ящика», до входу якого надходять ресурси (робоча сила, сировина, капітал, засоби праці, інформація тощо), котрі система використовує як фактори виробництва. Виходом системи є вироблені матеріальні блага. Загалом цю залежність можна подати виробничою функцією, що у скалярному вигляді буде такою:

де Х_і, якщо — фактори виробництва, — параметри.

Здебільшого як певну функціональну залежність беруть мультиплікативну однорідну функцію такого вигляду:

де Z — індекс промислового виробництва (наприклад, внутрішнього валового продукту (ВВП));

L — індекс чисельності робочої сили;

P — індекс промислового виробництва;

— відображує часову тенденцію, що обумовлена науково-технічним прогресом;

Ця функція зводиться до лінійної логарифмуванням:

Отже, за допомогою виробничих функцій можна, не вдаючись до аналізу структури економічної системи, встановити взаємозв’язок між її входами (факторами виробництва) та виходами (обсягами виробництва).

Модель Солоу

Модель Солоу — це односекторна модель економічного зростання. У ній економіка являє собою єдине ціле, що виробляє один продукт, який може йти як на споживання, так і на інвестиції. Хоча ця модель є надто спрощеною і не враховує у явному вигляді експорт та імпорт, вона достатньо адекватно відображає важливі макроекономічні аспекти процесів відтворення.

Стан економіки в моделі Солоу задається такими ендогенними змінними [16]: X — валовий внутрішній продукт (ВВП), C — фонд невиробничого споживання, I — інвестиції, L — кількість зайнятих, K — фонди. Окрім цього, в моделі використовують такі екзогенні змінні: n — річний темп приросту зайнятих (–1 £ n £ 1), m — частка вибулих протягом року виробничих фондів (0 £ m £ 1), r — норма нагромадження (частка валових інвестицій у ВВП, 0 £ r £ 1).

У цій моделі передбачається, що всі ендогенні змінні змінюються у часі, а екзогенні змінні постійні, при цьому норма нагромадження вважається керованим параметром.

Допускається також, що річний випуск у кожний момент визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією:

Розглянемо темпи приросту головних ресурсів за малий проміжок часу :

звідки одержимо:

Або, враховуючи початкову умову L (0) = L ₀, можемо записати:

Знос та інвестиції в розрахунку на рік дорівнюють та I, а за час — відповідно . Тому приріст фондів за цей час становитиме:

,

звідки одержимо диференційне рівняння:

Інвестиції та фонд невиробничого споживання будуть дорівнювати та Отже, модель Солоу буде мати вигляд:

Графічно функціонування економіки за моделлю Солоу зображено на рис. 14.

Рис. 14. Схема функціонування економіки за моделлю Солоу

Якщо ввести показники:

— фондоозброєність;

— продуктивність праці;

— питомі інвестиції;

— середнє споживання на одного зайнятого,

тоді, враховуючи, що

модель Солоу у відносних показниках матиме вигляд:

Отже, оскільки кожний абсолютний чи відносний показник змінюється з часом, то можна казати про рух системи.

Статична модель «витрати—випуск»

Розглянемо також одну з найбільш агрегованих та узагальнених моделей економічної системи — статичну модель міжгалузевого балансу «витрати—випуск» (модель Леонтьєва). У систему надходять ресурси, а на виході одержуємо кінцеву продукцію (товари, послуги тощо). Вважатимемо, що економічна система складається з двох підсистем: виробництва та розподілу продукції. Частина всієї виробленої продукції (валової) використовується для задоволення потреб самого виробництва (проміжна продукція), а решта (кінцевий продукт) надходить до виходу системи (споживається суспільством, йде до інших економічних систем тощо).

Нехай економіка складається з n галузей. Позначимо через — валову та кінцеву продукцію відповідно. Основним елементом моделі є квадратна матриця технологічних коефіцієнтів Її елементи показують, скільки продукції галузі i необхідно витратити для виробництва одиниці продукції в галузі j. Тому цю матрицю ще називають матрицею прямих витрат. Вона характеризує технологічну структуру економіки. Вважається, що її елементи є постійними величинами.

Основне припущення моделі полягає в тому, що для виробництва х_і одиниць продукції у галузі j необхідно витратити

одиниць продукції галузі i (тобто вважається, що затрати прямо пропорційні обсягам випуску продукції).

Тоді модель системи можна подати у вигляді:

або у матричному вигляді:

де

Розв’язок має економічний сенс, якщо вектори y та x невід’ємні. Для цього необхідно, щоб матриця А була продуктивною. Матрицю A називають продуктивною, якщо існують два вектори: та такі що:

Тоді розв’язок існує та єдиний:

Модель Леонтьєва можна використовувати для того, щоб за відомим вектором кінцевої продукції знайти вектор валової, або навпаки, за відомим обсягом випуску валової продукції знайти обсяг кінцевої. Складніші балансові моделі (динамічні МГБ) враховують також зміни капітальних вкладень.

На практиці для моделювання економіки в цілому або її секто­рів та галузей використовують значно складніші моделі: макроеконометричні системи рівнянь часто застосовують разом із моделями динамічного МГБ та ін.

Макроеконометричні моделі описують економіку в цілому та містять взаємопов’язані блоки рівнянь, що характеризують взаємозв’язки між різними секторами економіки. Так, наприклад, відома бруклінська макроеконометрична модель прогнозування економіки США містила сім блоків та більше 60 рівнянь. Такі моделі, як правило, мають блочну структуру (наприклад, містять блоки реального сектору, сектору споживання та доходів населення, державного сектору, зовнішньоекономічного сектору, грошово-кредитного сектору та ін.) і включають кілька сот змінних і рівнянь, часто містять взаємозалежні змінні, що ускладнює ідентифікацію таких систем.

Завдання для перевірки знань

1. Виберіть правильну відповідь (одну або кілька):

До загальносистемних властивостей соціально-економічних систем належать:

а) цілісність;

б) цілеспрямованість;

в) емерджентність;

г) ієрархічність;

д) динамічність;

е) усі попередні відповіді правильні;

є) жодна з відповідей неправильна.

2. Виберіть правильну відповідь (одну або кілька):

До специфічних властивостей соціально-економічних систем належать:

а) відкритість;

б) цілеспрямованість;

в) емерджентність;

г) складність;

д) динамічність;

е) усі відповіді правильні;

є) жодна з відповідей неправильна.

3. Чи правильне таке твердження і чому?

У будь-якій реальній економічній системі функції її компонентів погоджені не цілком, між ними є суперечності, що нерідко знижують ефективність системи в цілому.

4. Дайте визначення терміна «виробнича функція».

5. Закінчіть таке твердження:

Модель МГБ (Леонтьєва) дає змогу...

6. Дайте відповідь на запитання:

Чому дослідження будь-яких об’єктів та управління ними, особливо соціально-економічними, доцільно здійснювати на засадах системного підходу?

Контрольні запитання та завдання

1. Які основні ідеї та принципи системного аналізу застосовують при дослідженні підприємств, організацій, фірм?

2. Дайте характеристику економічної системи з позицій системного аналізу.

3. Які загальносистемні та специфічні властивості економічних систем?

4. Опишіть економічну систему (входи, виходи, зовнішнє середовище, структуру тощо).

5. Які моделі застосовують до моделювання економіки?

Практичне заняття № 3

Аналіз головних особливостей соціально-економічних систем. Системне зображення ринкової економіки. Територіальна та галузева економічні системи. Застосування принципів системотехнічних підходів і методів до аналізу і синтезу економічних явищ.

Самостійна робота студентів

На самостійне вивчення виносяться такі питання:

· Системне зображення ринкової економіки.

· Територіальна та галузева економічні системи.