Методы реализации математических моделей

Методы реализации математических моделей зависят от формы представления модели, цели моделирования, чёткости определения цели, определённости условий, которым должны удовлетворять результаты, имеющихся технических и временных ресурсов и т.д. Прежде чем приступать к моделированию, необходимо уяснить, что результаты моделирования необходимы и достаточны для достижения целей моделирования и, что имеющихся исходных данных достаточно для получения нужных результатов, проанализировать альтернативные варианты реализации модели, оценить, хотя бы приблизительно, экономическую целесообразность моделирования, наметить пути оценки качества результатов моделирования. Существует два наиболее общих метода реализации математических моделей: аналитический и численный.

Аналитический метод применяется к моделям, представленным в аналитической или инвариантной форме, когда установлена аналитическая зависимость искомых результатов от множества исходных данных, состояний объекта и других его характеристик. Эта зависимость чаще всего выражена явной или неявной функцией и может быть исследована методами математического анализа, в результате которого формулируются выводы о существовании решения, его единственности, корректности, диапазоне использования и другие, главным образом, качественные характеристики самой модели и результатов моделирования.

Количественные характеристики находят при численной реализации математической модели. Численные методы реализации модели основаны на выполнении вычислительного эксперимента, т.е. совместном использовании математического анализа, вычислительной математики и технических средств для получения ответов на разумно поставленные вопросы математического и физического содержания. Технология вычислительного эксперимента делится на ряд этапов.

На первом этапе намечается план вычислительного эксперимента, разрабатывается вычислительный алгоритм, т.е. совокупность алгебраических формул, по которым будут выполняться вычисления, и логических условий, устанавливающих необходимую последовательность применения этих формул, и предусматриваются меры промежуточного контроля самой модели и вычислительного процесса.

На втором этапе на одном из языков программирования пишется и отлаживается программа для выполнения вычислений на компьютере по алгоритму созданному на первом этапе.

На третьем этапе выполняются вычисления, результат которых и является результатом вычислительного эксперимента. Этот этап имеет наибольшее сходство с физическим экспериментом. Отличие их состоит в том, что в физическом эксперименте вопросы задаются природе, а в вычислительном - математической модели. Вычисления ведутся по плану, предусматривающему возможность проверки и программы вычислений и алгоритма и результатов. Для этого должны использоваться избыточные данные, полученные из независимых источников.

На четвёртом этапе осуществляется обработка и анализ результатов вычислений. Итог этого этапа - принятие решения о приемлемости результатов или необходимости внесения изменений в модель, алгоритм или программу.

В настоящее время появляется всё больше задач, которые решаются с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента. В геодезии к таким задачам, например, относятся:

1. расчёт траекторий искусственных спутников Земли,
2. определение параметров гравитационного поля и фигуры Земли,
3. цифровая обработка изображений,
4. определение параметров движений и деформаций различных объектов,
5. цифровое картографирование местности,
6. моделирование эволюции состояния объектов и многие другие.

Общим для всех этих задач является постоянно возрастающая сложность и объём вычислений, которые не компенсируются возрастающей мощностью компьютеров и постоянно требуют совершенствования математических моделей, алгоритмов и программ. Эти обстоятельства привели к созданию качественно новой методологии исследования объектов методом математического моделирования, которая получила название имитационное моделирование.