Математические модели технологических систем назначение и виды моделей

Методы описания и анализа технологических систем и процессов

Математические модели технологических систем назначение и виды моделей

Математическое моделирование - это процесс создания модели и оперирование ею с целью получения необходимых сведений о реальном или проектируемом технологическом объекте. Альтернативой математического моделирования является физическое макетирование, но у математического моделировании есть ряд преимуществ: меньше сроки на подготовку анализа; значительно меньшая материалоемкость, возможность выполнения экспериментов на критических и закритических режимах, которые привели бы к разрушению реального объекта, и лр.

Математическая модель (ММ) — это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д) и связей между ними, отражающих важнейшие для инженера-технолога свойства моделируемого технологического объекта.

Моделирование большинства технологических объектов можно выполнять на микро-, макро- и мегауровних, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте. Математической моделью технологического объекта на микроуровие является обычно система дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями, но точное решение подобных систем удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели для численных исследований.

Математической моделью технологического объекта на макроуровне является также, как правило, система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, построенными на основе сочетания компонентных уравнений отдельных элементов. ТП с топологическими уравнениями, вид которых определяется связями между элементами. Для сложных технологических объектов с большим числом элементов приходится переходить на мегауровень.

На мегауровне моделируют в основном две категории технологических объектов: объекты, являющиеся предметом исследования теории динамических систем, и объекты, являющиеся предметом теории массового обслуживания, в том числе и других соответствующих стохастических методов. Для первой категории объектов возможно использование детерминированного или стохастического математического аппарата макроуровня, для второй категории объектов, как правило, используют стохастические методы событийного моделирования.

Проверка адекватности ММ осуществляется сравнением контрольных результатов с экспериментом, при несовпадении требуется уточнить модель.

Принципиальным при моделировании любых технологических объектов является упрощенное отражение в модели их важнейших для данного исследования свойств; модель воспроизводит объект в определенном ограниченном диапазоне условий и требований; различные модели могут описывать различные стороны объекта

Фундаментальным для моделирования сложных объектов является известное положение кибернетики, состоящее в том, что при сложности объекта выше некоторого уровня его адекватная (полная) модель не может быть сделана более простой.

Место и роль ММ технологических систем наиболее отчетливо выявляются при системном подходе, когда ТС рассматривается как некоторая подсистема более обширной системы проектирования производства, сбыта и эксплуатации ЭС. Развитие техники отражается, в частности, в более детальном математическом моделировании ТС и процессов, и вместе с тем диалектическая противоречивость такой тенденции заключается в том, что к моменту, когда математическое описание системы близится к завершению, сама система близка к моральному старению. В наибольшей степени это относится к такой бурно развивающейся области техники, как радиоэлектроника. Так что достигнутые успехи в области синтеза ММ относятся в какой-то мере к нашему прошлому опыту. Означает ли это, что наибольший интерес представляют исследования лишь в области построения моделей новых ТС? Разумеется, нет. Совершенствование уже известных ММ имеет огромное значение, оно позволяет непрерывно обновлять арсенал средств оптимизации, в весьма компактной форме обобщать полученные результаты, без чего немыслимо создание все более совершенного математического обеспечении для автоматизированных систем проектирования, систем производства ЭС и управления ими

Из сказанного следует, что ни одна ТС не имеет исчерпывающего математического описания. Вместе с тем любая ТС, удовлетворяющая требованиям оптимальности, должна иметь несколько ММ на различных этапах своего существования. На первом этапе, когда она существует лишь как идея у разработчиков, требуется наиболее простая и грубая модель, которая позволяет решать вопрос осуществимости ТС. Здесь, как правило, используются аддитивные ограничительные неравенства, учитывающие суммарное время ТП, ресурсы производителя, реальные объемы и сроки поставки исходных компонентов при сравнительно простой функции качества (зачастую линейной). Очевидно, использование таких моделей эффективно на самой ранней стадии разработки ТС. Здесь преследуется цель убедиться, что исходные данные на ее проектирование принципиально реализуемы. Сами исходные данные при этом могут варьироваться в широких пределах и задаются, как правило, в виде некоторых интервалов изменения.

Наиболее содержательный в смысле использования ММ этап проектирования. На этом этапе вначале тщательно исследуются физико-химические закономерности, лежащие в основе технологии данного вида ЭС. Их математическое описание основывается обычно на дифференциальных уравнениях математической физики, теории цепей, термодинамики, кинетики химических взаимодействий и т. д. Для обобщения результатов экспериментальных исследований широко привлекаются методы теории планирования эксперимента. Результатом такого всестороннего анализа ТП являются соотношения, полученные в результате решения дифференциальных уравнений, аппроксимации экспериментальных данных и с требуемой точностью описывающие отдельные компоненты ТП.

Таким образом, стадия анализа ТП позволяет построить отдельные элементы ММ ТС. Существенное отличие от моделей, используемых при оценке осуществимости ТС, состоит в исчерпывающей детализации описания, когда выявляются не просто интервалы изменения интересующих величии, а существующие функциональные и вероятностные связи между ними Разумеется, это описание должно при необходимости содержать наряду с детерминированной частью также часть, учитывающую случайную природу происходящих процессов.

Построенные элементы ММ ТС используются в се структурном синтезе. Структурный синтез имеет целью выявить состав и связь подсистем разрабатываемой системы, выполняющих отдельные функции или группу близких по характеру протекающих процессов функций. Это наиболее творческая и вместе с тем наиболее трудная, неалгоритмизируемая стадия разработки ТС, требующая диалогового взаимодействия разработчиков с ЭВМ. Назначение ММ на этой стадии состоит в обеспечении большого объема проверочных расчетов различных вариантов системы с целью генерирования некоторого множества жизнеспособных технических решений. Структурный синтез завершается построением модели функционирования каждого варианта ТС, связывающей воедино все вышеупомянутые модели ее элементов. С этого момента начинается стадия параметрического синтеза, характеризующаяся жесткой стратегией получения единственного квазиоптимального варианта ТС. На основе модели функционирования строится модель точности ТП, использующаяся для исследования его чувствительности к изменениям входных параметров, устойчивости к внешним факторам. Именно на этом этапе выявляются связи параметров системы с критериями качества, т. е. с величинами, однозначно связанными с качеством системы. Эти связи в совокупности образуют оптимизационную модель системы. Ввиду сложности современных систем, их многопараметричности, многокритериальности задача оптимизации имеет не единственное решение.

Неоднозначность решения не может быть устранена путем внутреннего, более детального анализа системы. Необходим внешний анализ системы, т. е. она должна рассматриваться как подсистема более сложной системы и упомянутые выше критерии оптимизации ранжируются по степени их влияния на критерии оптимальности последней. Это позволяет построить некоторый результирующий показатель качества ТС, который в принципе определит единственное решение задачи оптимизации. Поскольку возможности объективного выбора результирующего критерия ограничены как временем, отпущенным на проектирование, так и нашими знаниями свойств систем более высшего иерархического уровня, то такой выбор неизбежно на каком-то этапе становится субъективным, и именно в этом смысле мы используем термин «квазиоптимальный», говоря о единственном решении задачи параметрического синтеза. Модель оптимизации позволяет достаточно полно спроектировать ТС. Теперь можно говорить о моделях оптимального распределения ТС между пользователями, учитывающих затраты на транспортирование, установку данной системы и ввод ее в действие. Модели такого типа в настоящее время достаточно полно и детально разработаны. Это хорошо изученные транспортные задачи, задача о назначениях и т. д. Однако и здесь могут потребоваться более точные и специфичные модели для исследования возможности использования системы в конкретном месте к в конкретное время.

В связи с широким внедрением микропроцессорной техники, микроЭВМ, ЭВМ для управления ТП появляется необходимость широкого использования моделей управления. Это ММ, лежащие в основе алгоритмов управления данной ТС. Такая модель строится на основе модели функционирования системы и предполагает расчленение ТП на последовательно-параллельные ветви с пространственно-временным разделением функций каждой из них и соответствующим точным согласованием во времени. Назначение такой модели заключается в том, что она позволяет рационально распределить средства управления внутри ТС. Модель управления позволяет, кроме того, выявить аварийные режимы функционирования ТС и предусмотреть своевременное автоматическое выключение ее при необходимости. Потребности разработки моделей управления выходят далеко за рамки традиционной теории оптимального управления, предполагающей возможность описания ТП системой обыкновенных дифференциальных уравнений и получение оптимального решения в достаточно узком смысле. Совершенно не разработаны, например, вопросы применения дискретных управляющих воздействий, что характерно для цифровых средств управления. Следует ожидать, по-видимому, что применение вычислительной техники в управлении ТП будет стимулировать разработку нового класса ММ управления. Уместно упомянуть и об эксплуатационных моделях ТС. Это прежде всего модель надежности ТС, анализ которой позволяет регламентировать время ее работы, графики ремонтов и профилактических мероприятий, учитывать естественные деградационные процессы. Следует также упомянуть модель морального старения ТС. Прогноз морального старения может быть осуществлен на основе модели, полученной методом дисперсных оценок.

Общее рассмотрение вопросов проектирования ТС с позиций системного подхода выявляет, таким образом, необходимость использования при описании, анализе и синтезе ТС весьма широкого круга ММ различного назначения.

3.2. Математическое моделирование элементов технологических процессов-операций

Построение адекватных моделей технологических операции (ТО) является основой описания ТС, предпосылкой для создания АСУ ТП, гибких автоматизированных производственных систем (ГАПС) и выполняется в процессе предпроектного обследования действующих производств. Для осуществления ТО необходимо обеспечить своевременное наличие на соответствующем рабочем месте комплектующих изделий, материалов, энергии, технологического оснащения и управляющих воздействий. Так, при производстве микроэлектронных приборов и ИС совокупность физико-химических процессов внутри технологической установки состоит в преобразования входных потоков энергии и вещества. Для обеспечения требуемых физико-химических превращений на границе и в объеме твердой фазы и выходных параметров изделий необходимо этими потоками управлять (рис. 3.1,а).

При анализе и синтезе ТП и систем с целью выбора их оптимальных параметров для получения надлежащего количества и эффективности в центре внимания находятся управляющие воздействия. При этом считают, что материальные и энергетические потоки, как иготовность средств технологического оснащения, а также квалифицированная деятельность персонала являются необходимым, всегда выполнимым условием. Это приводит к кибернетическому представлению отдельной операции в виде некоторого нормально функционирующего «черного ящика» (рис 3.1,б); при этом внутреннее содержание, схема этого «черного ящика» не рассматриваются, основное внимание обращается на входную и выходную информацию о существенных факторах.


а)	б)
Рис.3.1. Физическая (а) и кибернетическая (б) модели технологической операции

В соответствии с этим ММ операции должна в количественной форме отражать реальные взаимосвязи между входными и выходными характеристиками изделия, геометрическими параметрами заготовок, электрофизическими характеристиками исходных материалов, параметрами комплектующих изделий, режимами технологического оборудования, параметрами инструмента и др. Полнота и детальность математического описания реальных воздействий, состояний оборудования и выходных параметром изделия зависят от типа и уровня рассматриваемой технологической задачи. В простейшем случае может оказаться вполне достаточным использовать алгебраические соотношения между числовыми значениями нескольких параметров, а в наиболее сложных — привлекать последние достижения новейших разделов математики..

Среди применяемых моделей наиболее общей является описание состояния объекта моделирования (в данном случае операции) конечномерным вектором определенных функциональных или числовых компонентов, называемых выходом системы или вектором отклика. Всякая ТО определяет вектор отклика в зависимости от воздействующих факторов, поэтому её математическая модель должна содержать как математическое описание этих факторов, так и математическое описание соответствующих взаимосвязей между откликом и воздействующими факторами. В общем случае воздействие, как и отклик, описывается конечномерными векторами определенных функциональных или числовых компонентов, а реализуемые при выполнении ТО взаимосвязи между воздействием и откликом — соответствующими функциями. Напомним, что если каждому значению переменной х из некоторого множества поставлено в соответствие значение переменной , говорят, что задана функция Y=f(x);если каждой функции f(x) из некоторого множества поставлено в соответствие значение переменной Z, говорят, что задан функционал ; если каждой функции f(x) из некоторого множества поставлена в соответствие также функция Z(t), говорят, что задан оператор .Последние зачастую представляются системами интегро-дифференциальных уравнений (обыкновенными в частных производных), соответствующих функционалов или функций передачи, алгебраических соотношений и т. п. При математическом моделировании ТО, в частности, входящих в ГАПС, реальные воздействия делят на три группы факторов. Первая группа составляет -мерный вектор входных управляемых параметров - функций времени и пространственных координат , т.е. таких, которые можно измерять и целенаправленно изменять их распределение во времени и в рабочем объеме, поддерживая при этом заданный технологический режим. Часто вектор называют вектором управления или просто вектором факторов, область его возможных значений — множеством допустимых управлений или факторным пространством, а его составляющие — управлениями или факторами.

Вторая группа образует -мерный вектор контролируемых, но неуправляемых функций , характеризующих состояние исходных факторов (например, чистота материалов, поступающих на операцию формирования тонких пленок) и операции в целом. Они не поддаются целенаправленному изменению в пределах данной операции.

Третья группа составляет -мерный вектор неконтролируемых функций , а следовательно, и неуправляемых параметров операции. Сюда относятся параметры, оказывающие не детерминированные возмущающие воздействия на ТО.

Таким образом, построить ММ технологической операции означает определить математические соотношения между всеми указанными векторами

или предпочтительно в явном виде

Общие математические соотношения, связывающие пространственно-временные описания всех участвующих в ТО явлений, оказываются излишне сложными, что затрудняет их практическое использование. Поэтому на современном этапе развития математической теории технологии чаще всего прибегают к упрощенному моделированию, выбирая сложность модели из практических соображений. Построение простой ММ, достаточно точно описывающей ТО как элемент сложного комплекса, в большой степени зависит от опыта разработчика. Основой работы, особенно на первых порах, может явиться овладение типовыми ММ. Рассмотрим последовательность упрощенных описаний ТО.

Всякая ТО протекает во времени и в пространстве, поэтому как характеризующие ее состояние параметры , так и характеризующие различные воздействия внешней среды параметры , , , как уже отмечалось ранее, должны отражать изменчивость соответствующих величин, как при изменении времени , так и при разных значениях пространственных координат :

(3.1)

Если для поставленной технологической задачи существенна зависимость параметров ТО и от времени, и от пространственных координат, приходим к наиболее сложной динамической модели с распределенными параметрами. При этом в каждый фиксированный момент времени состояние объекта и внешней среды характеризуется значениями параметров в бесконечном числе точек пространства, а сами эти параметры подчиняются системам нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Иногда модели с распределенными параметрами удается приближенно свести к моделям с сосредоточенными параметрами. Это можно сделать, например, путем дискретизации функций (3.1) по аргументу , что приведет к замене каждой из этих функции набором функций времени с фиксированными пространственными координатами :

, ,

, .

При этом могут потеряться определенные свойства, характерные для этих объектов. Поэтому желательно провести полный анализ операции как системы с распределенными параметрами и только при численных расчетах проводить упрощение [29].

Если пространственное распределение параметров постоянно или для рассматриваемой задачи несущественно, то важно учитывать изменчивость во времени как внешних воздействий, так и описываемого «черного ящика». Например, в гибких ТП приходим к динамической модели с сосредоточенными параметрами. При этом в каждый фиксированный момент времени состояние объекта и внешней среды характеризуется конечным числом параметров, подчиняющихся в общем случае системам нелинейных и интегро-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Аналогично тому, как производится дискретизация непрерывных пространственных координат в случае систем с распределенными параметрами, при описании динамических систем с непрерывным временем возможно упрощение модели путем перехода к дискретному времени , . Разностные уравнения, определяющие значения переменных в дискретные моменты времени, выводятся из соответствующих уравнений, представляющих эти переменные в непрерывном времени.

Если режимы оборудования после наладки при проведении операции неизменны, в частности отсутствует подналадка, а внешние воздействия изменчивы во времени, получим стационарную систему уравнений, т. е. с постоянными коэффициентами.

Например, операция химического травления, которая широко используется в технологии ЭС как при производстве ПП, так и при производстве ИС. Режимы оборудования в этой операции — температура травления, тип травителя, размеры ванны или реактора, а также толщина и материал травящейся пленки — выбираются заранее и остаются неизменными в процессе операции. Однако скорость травления, которая в значительной степени определяет конечный результат (удаление материала, минимальное искажение размеров, селективность действия травителей и др.), меняется вследствие изменения во времени таких воздействий, как концентрация частиц травителя у поверхности твердой фазы, изменения температуры поверхности из-за выделения тепла при реакции, различной кинетики травления по глубине материала. Если рассматривать операцию травления как процесс, происходящий именно на поверхности твердой фазы, то все эти переменные воздействия можно считать внешними.

С некоторыми ограничениями и допущениями операция травления Si+Cl₂=SiCl₂ в реакторе непрерывного действия, представленная в общем виде как A₁+A₂=B, описывается системой уравнений с постоянными коэффициентами

;

где переменные состояния операции являются функциями изменяющегося во времени содержания в травителе на выходе реактора веществ А₁, А₂, В:

; ; ;

переменные управления и представляют функции веществ A₁ и А₂ на входе реактора:

; ;

возмущающее воздействие v является функцией количества моделей, распадающихся и появляющихся в единицу времени: .

Если в ТО существенные факторы во времени не изменяются
или их изменение для рассматриваемой задачи несущественно,
приходим к стационарной статической модели. При этом состояние объекта и внешней среды для любого момента времени описывается конечным числом параметров, связанных между собой алгебраическими уравнениями. Например, при операции вырубки деталей штампом усилие вырубки , где - сопротивление материала срезу; L —длина контура; d - толщина листа.

Для ТО, у которой параметры изменяются во время ее выполнения, в частности при наличии подналадки технологического оборудования или оснастки, это будут нестационарные уравнения, т. е. с коэффициентами, плавно или скачкообразно изменяющимися во времени.

Примером является ТО получения тонких пленок методом термовакуумного испарения. При испарении уменьшается масса материала на испарителе, что ведет к увеличению сопротивления испарителя, а, следовательно, к снижению тока. Чтобы не изменялась скорость испарения, в процессе операции производится регулировка тока так, чтобы его значение оставалось неизменным. Эта операция описывается системой дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени и от других технологических и физических параметров процесса испарения.

Дополняя отмеченные ранее распределенность параметров и нестационарность, укажем, что нелинейность уравнений отражает зависимость модели от значений учитываемых параметров, наличие интегралов в уравнениях отражает влияние на ТО эффектов накопления вещества или энергии, наличие производных - влияние значений скоростей и ускорений учитываемых параметров.

Как мы уже отмечали, обоснованное исключение из модели одной или нескольких особенностей, т. е. пренебрежение при построении ММ теми или иными реальными свойствами ТО, является способом получения приближенного математического описания ТО.

Из многообразия приближенных ММ реальных объектов в технических науках особое место занимают линейные модели. Линейной называется модель, обладающая так называемым свойством аддитивности по воздействию, т. е. реакция на сумму воздействий равна сумме реакций этой модели на каждое слагаемое. Линейные модели описываются линейными уравнениями.

Все рассмотренные ранее системы соответствующих уравнений с достаточной для каждого случая полнотой описывают реальные ТО. В пределах одинаковой полноты описания однотипные ММ различных ТО будут отличаться порядком уравнений и значениями соответствующих коэффициентов в этих уравнениях, поэтому для сравнения различных ТО достаточно сравнивать упорядоченные последовательности коэффициентов. Более того, каждая ММ с исчерпывающей полнотой описывается упорядоченным набором коэффициентов соответствующих уравнений при заданных начальных условиях. Такое представление свойств ММ не единственно, а во многих задачах анализа и синтеза соответствующих ТО широко используются более удобные формы их описания.

Во многих случаях наглядно представление свойств ТО на основе решения соответствующих уравнений при вполне определенных типовых воздействиях на моделируемый объект. Другими словами, удобно сравнивать различные моделируемые объекты по величине и характеру их реакции на «пробное» — типовое по форме и стандартное по величине — воздействие. Особенно это целесообразно при анализе и синтезе стационарных линейных динамических объектов. Если в качестве пробного воздействия использовать одиночный скачок величины входного воздействия, то изменение выходного параметра различных ТО будет различным, ТО можно сравнивать по таким реакциям на одинаковые воздействия.

Реакция анализируемого объекта на единичный скачок носит специальное название — переходная характеристика объекта. Переходная характеристика ТО может быть вычислена, если при решении описывающей ее системы уравнений подставить в виде компонента внешнего воздействия единичный скачок.

Другим часто используемым «пробным» воздействием является кратковременное ударное воздействие, математической идеализацией которого является дельта-функция. Реакция анализируемого объекта на дельта-функцию называется его импульсной переходной характеристикой.

Если в качестве «пробного» использовать гармоническое колебание внешнего воздействия единичной амплитуды, то реакция стационарного линейного объекта также является гармоническим колебанием той же частоты, а изменения амплитуды и фазы этого колебания зависят от свойств этого объекта.

Функции, описывающие зависимость амплитуды и фазы выходного колебания от частоты синусоидального выходного колебания единичной амплитуды, называется соответственно амплитудно- и фазочастотной характеристиками данного объекта; вместе они определяют комплексную функцию частоты , называемую передаточной функцией данного объекта.

Поскольку все названные характеристики, начиная с упорядоченного набора коэффициентов, однозначно характеризуют стационарные линейные объекты, они взаимосвязаны известными преобразованиями [30]. Аналогичные характеристики будут введены в последующих разделах и для ТО, отличающихся нестационарностью, нелинейностью и другими признаками, хотя наиболее широко используется математическая идеализация реальных объектов, представляющая их линейными динамическими системами.