Друга теорема Больцано-Коші

План

Перша теорема Больцано-Коші

Друга теорема Больцано-Коші

Перша теорема Больцано-Коші

Теорема 1. Нехай функція визначена і неперервна на , а на кінцях сегменту приймає значення різних знаків, тобто . Тоді існує така точка , що .

Доказ. Нехай для визначеності . Розіб’ємо точкою навпіл (рис.1). Якщо , то все доведено. Якщо , то на кінцях одного з сегментів , функція буде мати значення різних знаків. Оберемо саме цей сегмент і позначимо його (рис.1). Для нього: . Будемо позначати довжину сегмента як . Тоді .

Сегмент поділимо навпіл точкою . Якщо , то все доведено. Якщо , то на кінцях чи функція буде мати значення різних знаків. Оберемо саме цей сегмент і позначимо його . Для нього: , .

Продовжимо цей процес. Тоді на му кроці можливими є дві ситуації:

1. , тоді все доведено;

2. . На кінцях чи функція буде мати значення різних знаків. Оберемо саме цей сегмент і позначимо його . Для нього: , .

Припустимо, що на будь-якому кроці функція в середній точці розглядаємого сегмента не має значення 0. В ході доказу ми отримали нескінченну послідовність вкладених сегментів:

 

, (1)

 

для яких , а тому

. (2)

 

З (2) за визначенням границі послідовності витікає, що

для , що для : , тобто для в побудованій послідовності (1) вкладених сегментів існують такі, довжина яких буде меншою за . Тоді за лемою про вкладені сегменти з цього буде витікати, що послідовність (1) вкладених сегментів має лише одну спільну точку. Позначимо цю точку ; для : , а оскільки довжини сегментів прямують до нуля, коли (рівність (2)), то

 

. (3)

 

З (3) очевидно, що ми маємо дві збіжні послідовності: , , які збігаються до точки . Оскільки за умовою теореми функція неперервна скрізь на , то вона неперервна і в точці . Тоді за визначенням неперервності функції за Гєйне:

 

 

 

Оскільки для : , то

. (4)

Оскільки для : , то

. (5)

 

Порівнюючи (4) і (5), маємо, що

.

 

Таким чином, шукана точка знайдена, теорема доведена.

 

Друга теорема Больцано-Коші

Теорема 2. Нехай функція визначена і неперервна на , , . Тоді для , що

 

.

 

Доказ. Нехай для визначеності (якщо співпадає з чи з , тоді як можливо взяти чи - все доведено).

Побудуємо допоміжну функцію

.

 

Розглянемо її на . На цьому сегменті - неперервна, бо є різницею двох неперервних функцій і , до того ж:

 

,

 

,

 

тобто на кінцях сегмента функція приймає значення різних знаків. Тоді за попередньою теоремою , що , тобто , а тоді , що й потрібно було довести.

Наслідок. Нехай функція визначена і неперервна на , тоді множина її значень – сегмент.

Доказ. За другою теоремою Вейєрштрасса досягає на своїх супремума і інфімума. Позначимо:

.

Тоді

;

 

.

 

За другою теоремою Больцано-Коші функція приймає всі проміжкові значення, які знаходяться між і , тобто областю значень є сегмент , що й потрібно було довести.

Питання

1. Чи може неперервна на сегменті функція не приймати нульового значення в жодній точці сегмента? Відповідь пояснити.

2. Чи може неперервна на інтервалі функція не приймати нульового значення в жодній точці сегмента? Відповідь пояснити.

3. Нехай функція визначена і неперервна на , а на кінцях сегменту приймає значення одного знаку. Чи витікає з цього, що функція не приймає нульового значення в жодній точці сегмента? Відповідь пояснити.

4. Нехай функція визначена і неперервна на , а на кінцях сегменту приймає значення різних знаків. Чи витікає з цього, що функція приймає нульове значення в якійсь точці сегмента? Відповідь пояснити.

5. Довести першу теорему Больцано-Коші.

6. Довести, не розв’язуючи рівняння безпосередньо, що рівняння обов’язково буде мати корінь на сегменті .

7. Нехай функція визначена і неперервна на , а на кінцях сегменту приймає значення різних знаків. Скільки коренів може взагалі мати рівняння . Відповідь пояснити.

8. Нехай функція визначена на , а множина її значень – це . Що можна сказати про неперервність на ? Чому?

9. Довести другу теорему Больцано-Коші.

10. Довести наслідок з другої теореми Больцано-Коші.