Вторая теорема Больцано-Коши

Лекция 7. Функции, непрерывные на сегменте (продолжение)

План

Первая теорема Больцано-Коши

Вторая теорема Больцано-Коши

Первая теорема Больцано-Коши

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения разных знаков, то есть . Тогда существует такая точка , что .

Доказательство. Пусть для определенности . Разобьем точкой пополам (рис.1). Если , то все доказано. Если , то на концах одного из сегментов , функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его (рис.1). Для него: . Будем обозначать длину сегмента как . Тогда .

Сегмент поделим пополам точкой . Если , то все доказано. Если , то на концах или функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его . Для него: , .

Продолжим этот процесс. Тогда на м шаге возможны две ситуации:

1. , тогда все доказано;

2. . На концах или функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его . Для него: , .

Предположим, что ни на каком шаге функция в средней точке рассматриваемого сегмента не имеет значения 0. В ходе доказательства мы получили бесконечную последовательность вложенных сегментов:

 

, (1)

 

для которых , поэтому

. (2)

 

Из (2) по определению границы последовательности вытекает, что

для , что для : , т.е. для в построенной последовательности (1) вложенных сегментов существуют такие, длина которых будет меньше . Тогда по лемме о вложенных сегментах из этого будет вытекать, что последовательность (1) вложенных сегментов имеет лишь одну общую точку. Обозначим эту точку ; для : , а поскольку длины сегментов стремятся к нулю, когда (равенство (2)), то

. (3)

 

Из (3) очевидно, что мы имеем две сходящихся последовательности: , , которые сходятся к точке . Поскольку по условию теоремы функция непрерывна везде на , то она непрерывна и в точке . Тогда по определению непрерывности функции по Гейне:

 

 

Поскольку для : , то

. (4)

Поскольку для : , то

. (5)

 

Сравнивая (4) и (5), имеем:

.

 

Таким образом, искомая точка найдена, теорема доказана.

 

Вторая теорема Больцано-Коши

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на , , . Тогда для , что

 

.

 

Доказательство. Пусть для определенности (если совпадает с или с , тогда как можно взять или - все доказано).

Построим вспомогательную функцию

.

 

Рассмотрим ее на . На этом сегменте - непрерывна, потому что является разностью двух непрерывных функций и , к тому же:

 

,

 

,

 

т.е. на концах сегмента функция принимает значения разных знаков. Тогда по предыдущей теореме , что , т.е. , а тогда , что и нужно было доказать.

Следствие. Пусть функция определена и непрерывна на , тогда множество ее значений - сегмент.

Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса достигает на своих супремума и инфимума. Обозначим:

 

.

Тогда

;

 

.

 

По второй теореме Больцано-Коши функция принимает все промежуточные значения, которые находятся между и , то есть областью значений является сегмент , что и нужно было доказать.

Вопросы

1. Может ли непрерывная на сегменте функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.

2. Может ли непрерывная на интервале функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.

3. Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения одного знака. Вытекает ли из этого, что функция не принимает нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.

4. Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Вытекает ли из этого, что функция принимает нулевое значение в какой-то точке сегмента? Ответ объяснить.

5. Доказать первую теорему Больцано-Коши.

6. Доказать, не решая уравнение непосредственно, что уравнение обязательно будет иметь корень на сегменте .

7. Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Сколько корней может иметь уравнение ? Ответ объяснить.

8. Пусть функция определена на , а множество ее значений – это . Что можно сказать о непрерывности на ? Почему?

9. Доказать вторую теорему Больцано-Коши.

10. Доказать следствие из второй теоремы Больцано-Коши.