Лекция 5. Высказывания с кванторами. Отношения следования и равносильности между предложениями.

Слова, превращающие высказывательную форму или предикат в высказывание, называются кванторами. Выражение «для всех х» («для любого х», «для каждого х») называется квантором общности и обозначается " х. Выражение «существует такое х» («для некоторых х», «хотя бы для одного х», «найдется такое х») называется квантором существования и обозначается ∃ х.

Высказывание, полученное из предиката P(х) при помощи квантора общности, записывается в виде (∀ х ∈ Х) P(х) и читается: «Для любого (каждого, всякого) значения х из множества Х имеет место P(х)» или «Любой (каждый, всякий) элемент х из множества Х обладает свойством P». Например, если P(х) – «Натуральное число х является целым числом», то высказывание с квантором общности будет выглядеть так: «Любое натуральное число х является целым числом».

Высказывание, полученное из предиката P(х) при помощи квантора существования, записывается в виде (∃ х ∈Х) P(х) и читается: «Для некоторого значения х из множества Х имеет место P(х)» или «Найдется элемент х из множества Х, который обладает свойством P», или «Существует элемент х в множестве Х, для которого выполняется свойство Р». Например, если P(х) – «Натуральное число х делится на 2», то высказывание с квантором существования будет выглядеть так: «Найдется натуральное число х, которое делится на 2».

Чтобы установить истинность утверждения с квантором общности, надо провести доказательство, чтобы установить его ложность – достаточно привести опровергающий его пример. Высказывание, содержащее квантор общности, может быть представлено в виде конъюнкции высказываний.

Высказывание с квантором существования истинно, если можно привести пример, то есть найти такое значение переменной, при котором предикат обращается в истинное высказывание. Ложность высказывания с квантором существования устанавливается путем доказательства. Высказывание, содержащее квантор существования, может быть представлено в виде дизъюнкции высказываний.

Для построения отрицаний с кванторами надо: 1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности; 2) предикат заменить его отрицанием. Таким образом, справедливы формулы:

и .

Если задана словесная формулировка высказывания с квантором, то нужно: 1) слово «любой» («каждый», «всякий», «все») заменить на слово «существует» («найдется», «некоторый», «хотя бы один») и наоборот; 2) поставить перед глаголом частицу «не».

Это правило сохраняется и в том случае, если высказывание содержит не один, а несколько кванторов, например:

.

П р и м е р 1. Найти значения истинности высказываний:

а) среди чисел множества Х = {1, 2, 3, 4} найдется простое число;

б) любое число из множества А = {6, 8, 12, 28} кратно 2.

Р е ш е н и е. а) Высказывание «Среди чисел множества Х = {1, 2, 3, 4} найдется простое число» содержит квантор существования и поэтому может быть представлено в виде дизъюнкции высказываний: «1 – простое число», или «2 – простое число», или «3 – простое число» или «4 – простое число». Для доказательства истинности дизъюнкции достаточно истинности одного из высказываний, например: «2 – простое число», которое истинно. Следовательно, истинно и исходное высказывание.

б) Высказывание «Любое число из множества А = {6, 8, 12, 28} кратно 2» содержит квантор общности и поэтому может быть переформулировано в виде конъюнкции «6 кратно 2, и 8 кратно 2, и 12 кратно 2 и 28 кратно 2». Так как все четыре высказывания истинны, то истинна и вся конъюнкция, а, следовательно, и исходное высказывание.

П р и м е р 2. Выявить логическую структуру следующих высказываний:

а) некоторые четные числа делятся на 3;

б) сумма двух любых нечетных чисел кратна 2;

в) в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

Р е ш е н и е. а) В этом предложении имеется квантор существования, он выражен словом «некоторые», и предикат «четные числа делятся на 3», заданный на множестве Х четных чисел. Обозначим предикат через А(х), тогда логическая структура данного предложения такова: (∃ х ∈ Х) А(х).

б) В данном предложении имеется квантор общности, он представлен словом «любой», и двухместный предикат «сумма двух нечетных чисел кратна 2», заданный на множестве нечетных натуральных чисел Х. Обозначим предикат через P(х, у), тогда логическая структура данного предложения может быть записана в виде: (∀ х ∈ Х) (∀ у ∈ Х) P(х, у).

в) В данном высказывании квантора в явном виде нет, но подразумевается, что свойством «иметь взаимно перпендикулярные диагонали» обладают любые ромбы, следовательно, в данное высказывание можно включить квантор общности, не изменив его сути: «в любом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда его структура такова: (∀ х ∈Х) А(х), где Х – множество ромбов, А(х) – предикат «в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны».

П р и м е р 3. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:

а) всякое число, умноженное на нуль, есть нуль;

б) уравнение х + 3 = 5 имеет решение в множестве натуральных чисел;

в) квадрат любого числа положителен.

Р е ш е н и е. а) Данное высказывание содержит квантор общности, он выражен словом «всякий». Предикат х ·0 = 0 задан на множестве действительных чисел R. Поэтому высказывание можно записать в виде (∀ х ∈ R) х ·0 = 0. Это высказывание истинное, поскольку по определению умножение числа на 0 дает 0.

б) В явном виде квантор в данном предложении не присутствует. Переформулируем предложение так: «В множестве натуральных чисел N существует число, которое является решением уравнения х + 3 = 5», теперь ясно, что здесь есть квантор существования (слово «существует»), и высказывание можно записать так: (∃ х ∈ N) х + 3 = 5. Высказывание истинное, потому что при х = 2 получим верное равенство.

в) Данное высказывание содержит квантор общности, он выражен словом «любой». Предикат х ² > 0 определен на множестве всех действительных чисел R. Предложение можно записать так: (∀ х ∈ R) х ² > 0. Высказывание является ложным, так как при х = 0 неравенство 0 > 0 не выполняется.

П р и м е р 4. Построить отрицание высказывания «некоторые двузначные числа делятся на 12».

Р е ш е н и е. Заменим квантор существования (он выражен словом «некоторые») на квантор общности «все» и построим отрицание предложения, стоящего после слова «некоторые», поставив частицу «не» перед глаголом. Получим высказывание «Все двузначные числа не делятся на 12».

П р и м е р 5. Сформулировать отрицание высказывания «В каждом классе хотя бы один ученик не справился с контрольной работой».

Р е ш е н и е. Данное высказывание содержит квантор общности, выраженный при помощи слова «каждый», и квантор существования, выраженный при помощи слов «хотя бы один». По правилу построения отрицаний высказываний с кванторами надо квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности и убрать у глагола частицу «не». Получим: «Найдется такой класс, в котором все ученики справились с контрольной работой».

Задания для самостоятельной работы по теме 5:

1. Постройте отрицания высказываний:

Петя не умеет играть на рояле.

Все люди носят очки.

Некоторые звери ходят на двух ногах.

Иногда собака ест траву.

Ни один человек не умеет летать.

Заяц всегда жует.

2. Запишите 6 истинных и 6 ложных высказываний со словами: все, некоторые, н одно, каждое. Постройте высказывания, по смыслу отрицающие данные.

3. Какие из следующих высказываний содержат квантор общности, а какие – квантор существования: а) все натуральные числа делятся на 5; б) существуют четные составные числа; в) любое простое число нечетно; г) человеку известны все виды животных, обитающие на Земле; д) ни одно русское слово не содержит двух гласных подряд; е) некоторые натуральные числа больше 999; ж) в каждом треугольнике имеется прямой угол?