Возведение в степень и извлечениекорня

 

Из формулы 6 видно, что возведениекомплексного числа r·(cosj + i ·sinj) в целую положительную степень снатуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем,а аргумент умножается на показатель степени.

[r·(cosj + i ·sinj)]n= rn·(cos nj + i ·sin nj)

Число Z называется корнем степени n из числа w (обозначается />), если Zn =w.

Из данного определения вытекает, чтокаждое решение уравнения Zn =w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобыизвлечь корень степени n из числа w, достаточнорешить уравнение Zn =w. Если w=0, то при любом nуравнение Zn=w имеет только одно решение Z = 0. Если w/>0, то и Z />, а, следовательно, и Zиw можно представить втригонометрической форме

Z = r·(cosj + i ·sinj), w = p·(cosy + i ·siny)

Уравнение Zn = w примет вид:

rn·(cos nj + i ·sin nj) = p·(cosy + i ·siny)

Два комплексных числа равны тогда итолько тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми,кратными 2p. Следовательно, rn = p и nj = y + 2pk, гдеkÎZ или r = />иj = />,где kÎZ.

Итак, все решения могут быть записаныследующим образом:

ZK=/>[cos(/>) + i ·sin(/>)], kÎZ (8)

Формулу 8 называют второйформулой Муавра.

Таким образом, если w/>0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Всекорни степени n из числа w имеют один и тот же модуль />, но разные аргументы,отличающиеся слагаемым, кратным числу />.Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплекснойплоскости, расположенным в вершинах правильного n– угольника, вписанного в окружностьрадиуса /> с центром в точке Z = 0.

Символ /> неимеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлятьсебе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись />, следует подумать о том,чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

Уравнениявысших степеней

Формула 8 определяет все корнидвучленного уравнения степени n.Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнениястепени n:

an×Zn +an–1×Zn–1<sup/>+...+a1×Z1<sup/>+a0<sub/>= (9)

Где an,..., a0<sub/>– заданные комплексные числа.

В курсе высшей математикидоказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайнеймере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссомв 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можнодоказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в видепроизведения:,

 

Где Z1,<sub/>Z2,...,<sub/>ZK – некоторые различные комплексные числа,

а a1,a2,...,ak <sub/> – натуральные числа, причем:

a1+ a2 +… + ak = n

Отсюда следует, что числа Z1,<sub/>Z2,...,<sub/>ZK являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1 <sub/> является корнем кратности a1, Z2<sub/>– корнем кратности a2 и так далее.

Если условиться считать кореньуравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнениестепени nимеет в множестве комплексных чиселровноn корней.

Теорема Гаусса и только чтосформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего неговорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могутбыть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулыгромоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще несуществует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения.Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезнойследующая теорема: целые корнилюбого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителямисвободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

an×Zn + an–1×Zn–1<sup/>+...+ a1×Z1<sup/>+ a0<sub/>= 0

с целыми коэффициентами. Тогда

an×kn + an–1×kn–1<sup/>+...+ a1×k1<sup/>+ a0<sub/>= 0

a0<sub/>= – k(an×kn–1 + an–1×kn–2 +...+ a1)

Число в скобках, при сделанныхпредположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a0.