Вычитаниеи деление комплексных чисел

 

Вычитание комплексных чисел – этооперация, обратная сложению: длялюбых комплексных чиселZ1и Z2 существует, и притом только одно,число Z, такое, что:

Z+ Z2=Z1

Если к обеим частям равенстваприбавить (–Z2) противоположное числу Z2:

Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда

Z = Z1<sub/>– Z2

Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1и Z2.

Деление вводится как операция,обратная умножению:

Z×Z2=Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Z=/>

Из этого уравнения видно, что Z2/>0

Геометрическое изображениеразности комплексных чисел

 

Рисунок 4

Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствуетразность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль/> разности двух комплексныхчиселZ2 и Z1 по определению модуля есть длинавектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как суммувекторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двухкомплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которыесоответствуют этим числам.

Это важное геометрическоеистолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехомиспользовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5 · i и Z2= 3 + 4 · i. Найти разность Z2 – Z1и частное />

Z2– Z1<sub/>= (3 + 4· i) – (4+ 5· i) = –1 – i

/>=/>=/>

 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯФОРМА

КОМПЛЕКСНОГОЧИСЛА

Рисунок 5

Запись комплексного числа Z в виде A+B· i называется алгебраической формой комплексногочисла. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записикомплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическуюформу записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B· i выражаются через его модуль />= rи аргумент j следующим образом:

A=r·cosj; B= r·sinj.

Число Z можно записать так:

Z= r·cosj+ i ·/>·sinj = r·(cosj + i ·sinj)

Z = r·(cosj + i ·sinj) (2)

Эта запись называется тригонометрическойформой комплексного числа.

r =/>– модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Z/>0 называется величина угла междуположительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считаетсяположительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной,если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случаечисло задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше />= r =/>, равенство (2)можно записать в виде

A+B· i =/>· cosj+ i ·/>· sinj, откуда приравнивая действительные имнимые части, получим:

cosj =/>, sinj =/> (3)

Если sinj поделить на cosj получим:

tgj = /> (4)

Эту формулу удобней использовать длянахождения аргумента j,чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4),являются аргументами числа A+B· i. Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, вкакой четверти расположена точка A+B· i.

СВОЙСТВАМОДУЛЯ И АРГУМЕНТА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

 

С помощью тригонометрической формыудобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z1= r1·(cosj1<sub/>+ i ·sinj1), Z2<sub/>= r2·(cosj2<sub/>+ i ·sinj2). Тогда:

Z1Z2= r1·r2 [cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i ·(sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=

= r1·r2 [cos(j1+ j2) + i ·sin(j1+ j2)].

Таким образом, произведениекомплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить поформуле:

Z1Z2=r1·r2 [cos(j1+ j2) + i ·sin(j1+ j2)] (5)

Из формулы (5) следует, что приумножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z1=Z2 то получим:

Z2=[r· (cosj+ i ·sinj)]2= r2· (cos2j+ i ·sin2j)

Z3=Z2·Z=r2·(cos2j+ i ·sin2j)·r·(cosj+ i ·sinj)=

= r3·(cos3j+ i ·sin3j)

Вообще для любого комплексного числа Z = r·(cosj+ i ·sinj)/> и любого натурального числа n справедлива формула:

Zn<sup/>=[ r·(cosj+ i ·sinj)]n= rn·(cosnj+ i ·sinnj), (6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел,записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

/>/>/>[ cos(j1– j2) + i ·sin(j1– j2)]. (7)

/>= />=cos(–j2) + i ·sin(–j2)

Используя формулу 5

/>(cosj1 + i ·sinj1)×(cos(–j2) + i ·sin(–j2)) =

cos(j1– j2) + i ·sin(j1– j2).

Пример 3:

Z3 = –8

Число –8запишем в тригонометрической форме

8 = 8·(cos(p + 2pk) + i ·sin(p + 2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj+ i ×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r3×(cos3j+ i ×sin3j) = 8·(cos(p + 2pk) + i ·sin(p + 2pk)), kÎZ

Тогда 3j =p + 2pk, kÎZ

j = />, kÎZ

r3 = 8

r = 2

Следовательно:

Z = 2·(cos(/>) + i ·sin(/>)), kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = 2·(cos/> + i ·sin/>) = 2·(/> i) = 1+/>× i

k = 1

Z2 = 2·(cos(/> + />) + i ·sin(/> + />)) = 2·(cosp + i ·sinp) = –2

k = 2

Z3 = 2·(cos(/> + />) + i ·sin(/> + />)) = 2·(cos/> + i ·sin/>) = 1–/>× i

Ответ: Z13 = />;Z2 = –2

 

Пример 4:

Z4 = 1

Число 1запишем в тригонометрической форме

1 = 1·(cos(2pk) + i ·sin(2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj+ i ×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r4×(cos4j+ i ×sin4j) =cos(2pk) + i ·sin(2pk)), kÎZ

4j = 2pk, kÎZ

j= />, kÎZ

r4= 1

r = 1

Z = cos />+ i ×sin/>

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z1 = cos0+ i ×sin0= 1 + 0 = 1

k = 1

Z2 = cos />+ i ×sin/> = 0 + i = i

k = 2

Z3 = cosp + i ·sinp = –1+ 0 = –1

k = 3

Z4 = cos />+ i ×sin/>

Ответ: Z13 = />1

Z24 = /> i