Тема: Повне дослідження функції та побудова їі графіка. а) Основні теоретичні відомості

Виконати повне дослідження функції та побудувати їі графік.

Розв'язання. 1) Функція визначена на всій числовій осі, крім точки де х+1=0, тобто х= -1. Отже, область визначення: D(f)=(-∞;-1)∪(-1;+ ∞).

2) Ця функція не є періодичною як дробово--раціональна (наприклад, точка розриву х = -1 не повторюється).

З) Функція не відноситься ні до парних, ні до непарних, бо область визначення не є симетричною відносно початку координат (х = 1 є D(f), а x=-1 ∉ D(f)).

4) f(х) є часткою двох функцій х² і х+1 неперервних на всій числовій осі, тому вона буде неперервною на всій числовій осі, крім точки х = - 1, в якій х+ 1=0. Отже f (х) неперервна на всій D(f). Так як lіm f (х) = -∞, а lіш f (х) = +оо, то х = -1 - точка розриву другого роду.

х→-1-0 х→-І+О

5) Знайдемо f '(х):

f '(х) = 0 при х₁ = -2 і х₂ = 0. Точок, де f ' (х) не існує в області визначення немає.

Побудуємо таблицю:

6) Знайдемо f"(х):

Точок, де, немає. Отже, графік функції точок перегину немає.

f "(х) > 0 на інтервалі (-1;+ ∞), тому на цьому інтервалі графік функції угнутий (∪). f "(х) < 0 на інтервалі (-∞;-1), тому на цьому інтервалі графік функції опуклий (∩).

7) Пряма х = -1 є вертикальною асимтотою графіка функції, бо lіm f (х) =±∞. Похилі асимптоти

х→-1±∞

мають вигляд y=kx+b, де, а b= lim(f(x)-kх). Так як

х→±∞

то пряма у = х- l є асимптотою графіка функції.

8) Точки перетину графіка з віссю ОХ є розв'язком системи

Отже, точка (0;0) є точкою перетину графіка з віссю ОХ. Точки перетину графіка з віссю ОУ є розв'язком системи

Маємо точку (0;0). Отже, графік функції перетинає вісь ОУ в точці (0;0).

9) Надаючи аргументу х декілька значень і знайшовши відповідні значення функції, ми одержимо декілька точок, через які проходить графік.