Орнықтылықтың жиіліктік критерийлері

 

5.5.1 Михайлов критерийі

Михайловтың орнықтылық критерийі жиіліктік критерийлердің қатарына жатады және годографтың түрі бойынша тұйықталған жүйенің орнықтылығын бағалауға мүмкіндік береді. Годографты сипаттамалық теңдеуден алуға болады

 

. (5.28)

 

деп ұйғарайық, онда аламыз

 

. (5.29)

 

Жиілік (; ) аралығында өзгергенде (5.29) теңдеуі комплексті жазықтықта годографты салуға мүмкідік береді және оның түрі бойынша жүйенің орнықтылығы туралы қорытындылауға болады.

Сипаттамалық теңдеу (5.28) n түбірі болады, олардың ішінде нақты, комплексті және жорамал қос-қостан түйіндес, сондай-ақ нольдік түбірлер болуы мүмкін.

(5.28) теңдеуін әрқашанда мына түрге келтіруге болады

 

. (5.30)

 

Егер , онда (5.30) өрнегі мына түрді қабылдайды

 

, (5.31)

 

яғни

 

, (5.32)

 

мұнда - D (jω) векторының модулі;

- D (jω) векторының аргументі.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлері s ₁, s ₂, …, s_n болып табылады, сондай-ақ (5.31) өрнегінің оң жағындағы (jω - s_i) көбейткіштері комплексті жазықтықта сәйкес векторлармен кескінделеді (сурет 5.5).

Мысалы, s ₁ мен s ₂ комплексті түйіндес қос түбірлер болып табылады және сол жақ жарты жазықтықта (А және В нүктелері) жатқан ОА және ОВ векторларымен сипатталады. тәуелсіз айнымалысы жорамал осьтегі Е нүктесі арқылы белгіленіп және оны А мен В нүктелері арқылы түзу сызықпен қосып, АЕ және ВЕ векторларын аламыз, ал олар (jω – s ₁) және (jω – s ₂) көбейткіштеріне сәйкес болады. Ұқсастық бойынша қалған түбірлер үшін де кескіндеулерді орындауға болады және осылайша әр (jω - s_i) көбейткішін сәйкес вектормен кескіндейміз.

 

Сурет 5.5

 

Ұйғарайық, n дәрежелі сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлерінің ішінде m түбірі оң жарты жазықтықта орналасып, ал қалған n – m түбірі жорамал осьтің сол жағында орналасқан және теріс нақты бөлікті болады деп. D (jω) векторы аргументінің өзгеруін, яғни жиілік (; ) аралығында өзгергендегі табамыз. болады, онда жиілк көрсетілген диапазонда өзгергенде барлық (jω – s_i) векторлары аргументтері-нің өзгеруінің қосындысы D (jω) векторы аргументінің өзгеруін анықтайды.

Жиілік ω минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде Е нүктесі комплексті жазықтықтың жорамал осінде орналасады да (сурет 5.5), минус шексіздіктегі орнынан плюс шексіздіктегі орынға жылжиды. Бұл сипаттамалық теңдеудің s_i түбірі анықталатын нүктелердің айналасында (jω – s_i) векторларының айналуын ту-дырады. Сол жақ жарты жазықтықта орналасқан түбірлер үшін (jω – s_i) век-торларының әрқайсысы сағат тіліне қарама-қарсы айналатын болады және жиілік минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде олардың әрқайсысы 180^о айналады.

Мысалы, (jω – s ₁) және (jω – s ₂) векторлары А және В нүктелерінің маңайын айнала отырып, сағат тіліне қарсы әрқайсысы +180^о бұрылады (сурет 5.5). Оң жақ жарты жазықтықта орналасқан түбірлер үшін, сәйкесінше (jω – s_i) векторлары сағат тілі бойынша –180^о айналатын болады, мысалы, (jω – s ₄) және (jω – s ₅) векторлары жиілігі сол көрсетілген шекте өзгерген кезде, –180^о бұрылады. Сағат тіліне қарсы айналуды оң, ал сағат тілі бойынша айналуды теріс деп қабылдай отырып, қорытынды жасауға болады: ω жиілігі минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде, сол жақ жарты жазықтықта орналасқан (jω – s_i) векторларының әрқайсысы өз аргументін +180^о өзгертеді, ал оң жақ жарты жазықтықта болатын (jω – s_i) векторларының әрқайсысы –180^о өзгертеді. Сол жақ жарты жазықтықтағы түбірлердің саны n – m болғандықтан, (jω – s_i) түрлі сол жақ векторлардың жалпы аргументтерінің өзгерісі (n – m) π тең болады. Оң жақ жарты жазық-тықта m түбір орналасқан, ал барлық оң векторлардың аргументтерінің жалпы өзгерісі – mπ тең шаманы тудырады. Жиілік ω минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген жағдайда D (jω) векторы аргументінің қорытынды нәтижелік өзгеруі

 

. (5.33)

 

Формула (5.33) орнықсыз жүйенің D (jω) векторы аргументінің өзгерісін анықтайды, себебі m ≠ 0. m = 0 деп ұйғарсақ, табамыз

 

. (5.34)

 

Формула (5.34) орнықты жүйенің D (jω) векторы аргументінің өзгеруін анықтайды және барлық түбірлер сол жақ жарты жазықтықтан табылған жағдайға сәйкес болады.

Теріс жиілік диапазонын алып тастауға болады, себебі D (jω) годографы оң жиілік үшін және D (- jω) годографы теріс жиілік үшін нақты оське қатысты симметриялы орналасқан. Бұл мынадан шығады

 

, (5.35)

 

мұндағы ω айнымалысына қатысты - жұп функция, ал - тақ функция.

Теріс жиілік диапазонын алып тастау D (jω) векторы аргументінің өзгеруін екі есеге кішірейтеді. (jω - s_i) векторлары жиілік нольден (0) плюс шексіздікке дейін өзгергенде аргументтің өзгерісі екі есе кіші болады, қарастырылған жағдай салыстырғанда.

Сонымен, (5.34) формуласын мына түрде көрсетуге болады

 

. (5.36)

 

Формула (5.36) тұйықталған жүйе орнықтылығының қажетті және жеткілікті шартын анықтайды және сонымен қатар, Михайлов критерийінің математикалық жазылуы болады.

Михайловтың орнықтылық критерийі: тұйықталған күйдегі жүйенің орнықтылығы үшін қажетті және жеткілікті, жиілік нольден (0) плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде D (jω) векторы өз ұшымен Михайлов қисығын сызып, өзінің қозғалысын нақты оң осьтен бастап және сағат тіліне қарсы айналып, еш жерде нольге айналмай ретімен n квадранттан өткені.

Орнықты жүйе үшін Михайлов қисықтары сурет 5.6а) көрсетілген, онда сипаттамалық теңдеулер реті n = 1,3,5.

n = 3 болғанда D (jω) векторы жиілік өскен кезде координаталар басы айналасында сағат тіліне қарсы бұрылып, ретімен үш квадрантты: I, II және III өтеді. III квадрантта D (jω) векторының модулі шексіз үлкен болып өседі. n = 5 болғанда D (jω) векторы I, II, III IV квадранттарынан және қайтадан I квадранттан өтеді. Бұл жағдайларда D (jω) векторы еш жерде нольге айналмайды.

 

а) б) в)

Сурет 5.6

 

Егер критерийде жазылған шарт бұзылса, онда жүйе орнықсыз болады. Орнықсыздық белгілері ретінде мына жағдайлар қарастырылуы мүмкін: Михайлов қисығы оң нақты осьтен басталмауы мүмкін (n = 1 болғанда годограф 1, сурет 5.6б); Михайлов қисығы координаталар басы арқылы өтеді (n = 3 болғанда годограф 1, сурет 5.6в); D (jω) сипаттамалық векторының квадранттарды өту реті бұзылады (годограф 2, сурет 5.6б).