, . , , 2+(2 )2 + (3 )2 +... , 1+ 2 + 3 +... 12 + 22 + 32 +... (. 2 . 3). 1 , . 2, : 1 , 2, 3 . ., . . 1+ 2 + 3... + n. , + 1. ( +1), -{18} n (n +1)/2. 1 + 2 + 3...+ n. . 1 , , 1 , , ó , 2´2 , , , 3´3 , 12 + 22 + 32... + . , . 3 b 3 , : ) , + 1, ) , 1, , . 2. , , n (n +1)/2. ,
n 2(n +1)+ n (n +1)/2=(2 n 3+3 n 2+ n)/2,
, . . 12 + 22 + 32... + n, , (2 n 3 + 3 n 2 + n)/6.
( V . . .) , 1/2 + 1/4 + 1/8..., , , . - , - , , 1 ; , 1. a + 2 a + 3 a + 4 a... 2 + (2 )2 + (3 )2... (. . 149 .) , , , - , {19} ; Sn = ((na)2 + na)/2 , Sn = (na)2/2
Sn = (2(na)3 + 3(na)2 + na)/6;
,
|
|
Sn = (na)3/3,
. . , , , .
, V . . , , , , V ., -.
. , , ; , ; , , , , , . . . ( , , ) {20} . , , , , , . .; . - .
, , , , . , , ( ) ( , ).
, , . : , , , . . , . , , . , . ; ; .
, , , , . IV . ; , . , , {21} , . , , , . , , , , . , . . ; .
|
|
, . V . , , , . , , , .
, ; , V . , , . , , -{22} , , . , ; . , , , .
, . , , . , , ; , , . .
. , , , . , , , . , (argumentum contrario ). , , , , , , , , , . . , . . , . , , . , , , . reductio ad absurdum ( ).
|
|
: , {23} , . , : .
reductio ad absurdum, , , , , .
-, , , , .
-, , . , , , . - .
V.: , , , . , ; , .
. , , , . , , , , .
1. permutando.
a: b = c: d,
: = b: d.
2. convertendo.
a: b = c: d,
b: a = d: c.
3. componendo.
a: b = c: d,
(a + b): b = (c + d): d.
4. dividendo.
a: b = c: d,
(ab): b = (cd): d.
5. Ut omnes ad omnes, ita unus ad unum ( [] [], [] []).
: b = c: d = e: f = g: h,
: b = ( + + + g): (b + d + f + h).
, , . - reductio ad absurdum.
IV III . , , , , , V . XV . {25} 1 :
( . . .), , . . , , , , . , , , , , .
|
|
, , XII ., (. . 247), . , , . , , , , , , , .
, , ? , : , , , ( ) 1; , , -{26} , , . , , , , , , , , .
, , -, . , , (δαπανν) . , ( ), , , , , ( ). reductio ad absurdum, , , , , , .
. 3
(. XII, . 2) , , . . 1, . X: , , , , , , , . , , {27} . : , , . (. 3) :
. 4 |
, , . ., , , . ; , DE, .
, . . , . , , DE , , DE, , DE , , .
|
|
(. 4) .
: ABCD EZHG. ,
ABCD: EZHG = BD 2: ZG 2, {28}
,
BD 2: ZG 2 = ABCD: S,
S , EZHG.
, S EZHG. EZHG . , EZHG, . . , , . . , , . , , . . 1 , , S . , 2 , S. ABCD 1, 2. , ,
(1) |
O 1 : O 2 = BD 2: ZG 2
,
(2) |
. ABCD: S = BD 2: ZG 2,
(3) |
O 1 : O 2 = . ABCD: S,
, (permutando),
(4) |
O 1: . ABCD = 2: S.
{29}
O 1, , ABCD, , O 2, , S. , <1, >1, . S , , EZHG.
, S EZHG.
, (convertendo) (2),
(5) |
S: ABCD = ZG 2: BD 2
(6) |
S: ABCD = EZHG: x,
, permutando,
S: EZHG = ABCD: x.
, , S > EZHG, , x < ABCD. (5) (6)
ZG 2: BD 2 = EZHG: x.
, (1),
2 : O 1 = EZHG: x,
permutando,
O 2 : EZHG = O 1 : x.
, x ( x < ABCD, ). O 2< EZHG, O 1> x, .
S , EZHG, , EZHG, .
, , , . . .
. -{30} ; , . . , , . , . , , , , , . , reductio ad absurdum, . ; , , .
, IV . V ., (Στοιχεΐα) . ; - . , ; , , . , ; , , , , . par excellence (ό ποιητής) , ό στοιχειωτής, , . , , : , {31} , .
, , ; . , , , V . , .
, ( ) , V . (επίπεδοι) ( ) . : , , , , (στερεοί) , . . ( ) ( , ) .
; , , ( ).
4. . ,
. , (μεσότητες) , . , -{32}