Формирование у младших школьников представлений об окружности и круге

Одной из основных задач изучения элементов геометрии в начальных классах является расширение и уточнение представлений учащихся о геометрических фигурах, развитие пространственного мышления и формирование практических навыков.

Ученики проявляют большой интерес к геометрическим фигурам и их свойствам, поэтому перечень геометрических понятий, с которыми знакомятся младшие школьники в программе по математике авторского коллектива под руководством М.И. Моро, расширился. Например, в III классе ученики знакомятся с понятиями круг и окружность. Знакомство с этими фигурами осуществляется на уровне представлений.

Ученики должны научиться узнавать круг и окружность; знать, что окружность — это линия, являющаяся границей круга; уметь строить с помощью циркуля окружность; знать, что такое радиус окружности (круга). Для решения этих учебных задач используются различные практические упражнения. При их подборе, выборе методов и приемов работы с ними необходимо учитывать те подходы к определению окружности и круга, которые имеют место в школьном курсе геометрии.

В школьной трактовке окружность определяется разными способами:

а) окружностью называется замкнутая кривая линия, все точки которой равноудалены от определенной точки, находящейся внутри замкнутой линии;

б) окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

При знакомстве с окружностью в III классе лучше опираться на первое определение, используя метод практических работ в сочетании с беседой.

Покажем, как можно познакомить третьеклассников с понятием «окружность».

На доске нарисованы различные фигуры.

— Какие из нарисованных на доске фигур можно назвать линиями? (Все.) Уточните, какие из нарисованных на доске линий являются ломаными, а какие — кривыми? (Линии 2 и 4 — ломаные; линии 1, 3, 5, 6, 7, 8 и 9 — это кривые.) Распределите кривые линии на две группы: замкнутые и незамкнутые. Какие фигуры будут в первой группе и какие во второй? (Замкнутые кривые — это линии 3, 6, 7 и 8; незамкнутые кривые линии — 5 и 9.) В фигурах 3, 6 и 8, которые являются замкнутыми кривыми линиями, расставлены точки. Можно ли утверждать, что расстояния от точки О до точек А, В, С и D в каждой фигуре одинаковые? (В фигуре 6 расстояния от точки О до точек А, В, С, D неодинаковые, а в фигурах 3 и 8 — одинаковые.)

К доске приглашаются три ученика. Они должны убедить класс в том, что расстояние от точки О до точек А, В, С и D в фигурах 3 и 8 одинаковое, а в фигуре 6 — разное. Ученики могут воспользоваться линейкой или циркулем.

Остальные ученики класса сравнивают фигуры 6 и 8. (Сходство: это замкнутые кривые линии; в центре каждой фигуры отмечена точка О; на фигурах отмечены точки А, В, С и D. Отличия: расстояния от точки О до точек А, В, С, D в фигуре 6 — разные, в фигуре 8 — одинаковые.)

— Как вы думаете, почему фигура 8 является окружностью, а фигура 6 не является окружностью? (В фигуре 8 расстояния от точки О до точек А, В, С и D одинаковые, а в фигуре 6 — разные.) Назовите существенные признаки окружности. (Кривая замкнутая линия; расстояния от точки О, которая расположена в центре, до точек на окружности одинаковые.) Можно ли назвать окружностями фигуры 9, 5 и 7? (Нет. Фигуры 9 и 5 не являются замкнутыми кривыми, а фигура 7 не имеет центра.) Чем отличаются окружности 3 и 8? (Расстоянием от точки О до точек на окружности.) Если мы отметим любую точку на окружности 8 и измерим расстояние от точки О (центра окружности) до данной точки, то будет ли оно таким же, как и расстояние от точки О до точек А, В, С, D? (Да.) Расстояние от центра окружности О до любой точки на окружности называется радиусом и обозначается латинской буквой R. Используя циркуль, постройте в тетрадях две окружности с одинаковым радиусом, равным 2 см.

Учитель предлагает учащимся закрасить ту часть тетради, которая ограничена первой окружностью. В это время учитель вывешивает на доске большой лист бумаги с таким же рисунком, как у учеников.

— Как вы думаете, закрашенной фигуре принадлежат только точки окружности или ей принадлежат и другие точки? (Так как первая фигура закрашена, то ей принадлежат все точки окружности, а также точки, которые находятся внутри окружности.)

Первая фигура называется круг. Послушайте следующее стихотворение и постарайтесь разрешить возникающий спор между кругом и окружностью.

Встретились окружность с кругом.

Спорить стали вот о чем.

Кто главнее всех в округе?

Кто сначала, кто потом?

Круг сказал, что он главнее:

«Я большой и, посмотри,

Весь заполнен в середине,

Есть по краю и внутри».

Тут воскликнула окружность:

«Жить не сможешь без меня!

Я ведь линия сплошная,

И граница я твоя!»

Долго спорили фигуры,

Кто из них кого главней,

И соседей опросили,

И знакомых, и друзей,

Но закончить этот спор

Не смогли и до сих пор.

В чью же пользу и без ссор

Разрешится этот спор?

Ученики высказывают свои мнения о том, кого они считают главнее.

— Окружность и круг являются древнейшими геометрическими фигурами. Ученые придавали окружности большое значение, так как считали ее самой совершенной линией. Согласно Аристотелю, все планеты и звезды должны двигаться по окружности.

Это ошибочное мнение было опровергнуто около 400 лет назад. Самым важным элементом окружности древние ученые считали радиус. Слово радиус в переводе с латинского обозначает луч. В древности не было этого термина, использовали слова прямая от центра. Ученые древности утверждали, что из данной точки данным радиусом можно описать окружность. А сколько окружностей можно описать из одной точки с разными радиусами? (Из одной точки с разными радиусами можно описать много окружностей.)

Очень важное значение при усвоении понятий окружность и круг имеют задания, направленные на воспроизведение знаний и их применение. На этом этапе репродуктивные задания нужно заменить на задания творческие, эвристические. Ниже предлагаем несколько таких заданий.

1. Работа в парах. Ученики, сидящие за одной партой, составляют словесные портреты круга и окружности и читают их друг другу.

2. Сад «Окружностей и кругов». С помощью кругов и окружностей ученики должны нарисовать сказочный сад.

3. Геометрические орнаменты.

— Продолжите орнаменты на всю ширину тетради.

Придумайте свои орнаменты, где бы использовались круги, окружности или части из них.

4. Составление загадок о круге, об окружности.

5. Математическое исследование.

Ученикам предлагается выступить в роли ученого-исследователя. Надо: а) соединить отрезком две точки окружности таким образом, чтобы данный отрезок проходил и через центр окружности; б) написать выражение, по которому можно найти длину этого отрезка, если известен радиус окружности.

После выполнения данного задания учитель сообщает, что отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр, называется диаметром окружности (круга).

6. Как чертили в старину. Ученикам предлагается представить себе, что они попали в прошлое и им нужно нарисовать окружность, при условии, что циркуль еще не изобрели.

7. Разрежьте торт, верх которого имеет форму круга, на 4 равные части; на 8 равных частей.

8. Конкурс рисунков.

Класс делится на группы. Каждой группе предлагается «оживить» определенную геометрическую фигуру, закрасив ее разными цветами, чтобы с помощью созданного образа каждый почувствовал смысл оживляемой геометрической фигуры. Готовые работы ученики комментируют, обсуждают.

9. Догадайся, как можно начертить две окружности, чтобы они:

а) не имели общих точек;

б) имели одну общую точку;

в) имели две общие точки.

Это задание можно предложить учащимся для групповой работы. Для ее проверки ученики получают листы со следующими рисунками:

10. Как могут располагаться относительно друг друга окружность и прямая?

Начерти различные случаи. (Окружность и прямая могут: а) не иметь общих точек; б) иметь одну общую точку; в) иметь две общие точки.)

Интересные задания при изучении темы «Окружность и круг» предлагает профессор Н.Б. Истомина в своем учебнике «Математика. 2 класс».

1) Можно ли провести окружность с центром в точке О так, чтобы она проходила через точки А, В, С, D?

2) Догадайся! Через какие точки будет проходить окружность:

а) с центром в точке О;

б) с центром в точке С;

в) с центром в точке D?

Проверь свой ответ.

Для проведения практических работ при изучении темы «Окружность и круг» можно воспользоваться заданиями из тетради «Наглядная геометрия. 3 класс», авторы Н.Б. Истомина и Н.С. Подходова.