Лекція 29. Дифракція світла

План

1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Дифракція на круглому отворі і на круглому непрозорому екрані.

2. Дифракція Фраунгофера на щілині та дифракційній решітці.

3. Дифракція на кристалічній ґратці, формула Вульфа-Брега та поняття про дифракційний метод дослідження структури кристалів.

4.Уявлення про голографію.

 

Поширення монохроматичної хвилі графічно зображають за допомогою хвильової поверхні, в усіх точках якої світлові коливання відбуваються в однаковій фазі. Геометричне місце точок, які одночасно зазнають збурення, що вийшло з джерела у деякий час , називається фронтом світлової хвилі.

Якщо джерело збурення дуже мале (точка) і швидкість поширення збурення в усі сторони однакова (ізотропне середовище), то фронт хвилі має вигляд сферичної поверхні, центром якої є джерело збурення. У цьому випадку хвиля називається сферичною. Фронт хвилі переміщується вздовж напряму нормалі до фронту. У випадку сферичної хвилі ці нормалі збігаються з проведеними з джерела радіусами-векторами, вздовж яких передається збурення від джерела і які є променями. Поширення фронту сферичної хвилі відбувається вздовж променів. Якщо джерело розташоване дуже далеко від місця спостереження, то фронт хвилі уявляється як частина сферичної поверхні дуже великого радіуса. Її можна з достатнім наближенням вважати площиною. Хвиля, фронт якої є площина, називається плоскою. Фронт плоскої хвилі переміщується паралельно самому собі, так що шляхи окремих ділянок плоскої хвилі паралельні між собою: плоска хвиля характеризується паралельним пучком променів.

Дифракцією називається оптичне явище, пов’язане із зміною напряму поширення світлових хвиль (у порівняні з напрямом, передбаченим законами геометричної оптики) та з просторовим перерозподілом їхньої інтенсивності під впливом перешкод і неоднорідності середовища на їхньому шляху. Дифракція світла проявляється в огинанні таких перешкод світлом. Дифракція світла спостерігається при поширенні його біля різких країв тіл, при проходженні крізь отвори і щілини, при зустрічі з мікро неоднорідностями середовища. Явище дифракції тим виразніше, чим більше розмір цих отворів і перешкод наближається до значення довжини хвилі.

Задачу дифракції можна вважати розв’язаною, якщо визначити поширення інтенсивності у залежності від кутів між попереднім напрямом (напрямом прямолінійного поширення) і напрямом дифрагованих хвиль (кут між попереднім напрямом хвилі і дифрагованою хвилею) будемо називати кутом дифракції.

Дифракцію світла можна пояснити за допомогою принципу Гюйгенса. Згідно цього принципу кожний елемент поверхні, до якого дійшла у даний момент хвиля, є центром елементарних хвиль, обвідна (огинаюча) яких буде хвильовою поверхнею у наступний момент часу. Зворотні елементарні хвилі до уваги не бралися. Принцип Гюйгенса пояснює напрям поширення хвиль, але не дає відповіді на питання про амплітуду, інтенсивність хвиль, які йдуть по різних напрямах. Цей недолік заповнив Френель, який вклав у принцип Гюйгенса фізичний зміст, доповнивши його ідеєю інтерференції хвиль. Згідно принципу Гюйгенса-Френеля вторинні півсферичні елементарні хвилі є когерентними і при пошуку у деякій точці екрану результуючої інтенсивності необхідно врахувати інтерференцію усіх цих вторинних хвиль. Внаслідок цього у просторі за перешкодою інтенсивність світла розподіляється нерівномірно, спостерігається посилення та послаблення інтенсивності світла у залежності від амплітуд і фаз вторинних хвиль.

Розрізняють два види дифракції світла – дифракція Френеля та дифракція Фраунгофера. Дифракція Френеля, або дифракція сферичних хвиль, здійснюється у тому випадку, коли дифракційна картина спостерігається на скінченній віддалі від перешкоди, яка викликала дифракцію. Фраунгофер розглянув дифракцію плоских світлових хвиль, або дифракцію у паралельних променях. Дифракція Фраунгофера спостерігається у тому випадку, коли джерело світла і точка спостереження нескінченно віддалені від перешкоди, яка викликала дифракцію.

Дифракція Френеля. Для пояснення прямолінійного поширення світла Френель застосував надзвичайно наочний прийом, що заміняє складні обчислення і який має загальне значення при розгляді поширення хвиль. Цей метод дістав назву методу зон Френеля.

Розглянемо дію світлової хвилі яка поширюється від джерела в якійсь точці спостереження (рис. 1). Згідно принципу Гюйгенса-Френеля, замінимо дію джерела дією уявних джерел, розміщених на допоміжній поверхні . В якості допоміжної поверхні виберемо поверхню фронту хвилі, що йде з (поверхня сфери з центром рис. 1).

Обчислення результату інтерференції вторинних хвиль спрощується, якщо застосувати вказаний Френелем прийом: для обчислення дії у точці сполучимо з і розіб’ємо поверхню на зони такого розміру, щоб відстані від країв зони до відрізнялися на . Тобто:

 

 

Рисунок 1 – Побудова зон Френеля.

 

 

	(1)

 

Обчислення показують, що побудова Френеля розбиває поверхню сферичної хвилі на рівновеликі зони, кожна з яких має площу:

	(2)

 

Радіуси яких можна визначити за формулою:

	(3)

 

Дія зон поступово зменшується від центральної зони до периферійних. Фази коливань, які збуджуються сусідніми зонами, відрізняються на . Тому амплітуда результуючого світлового коливання може бути знайдена алгебраїчно. Усі амплітуди від непарних зон беруться з одним знаком, а від парних зон – з іншим.

Застосування методу Френеля дозволяють розв’язати найпростіші задачі на дифракцію світла.

Дифракція на круглому отворі. Поділ на зони Френеля показує, що залежно від розміру отвору і довжини світлової хвилі при даному взаємному розміщенні джерела, отвору та екрану число діючих у точці зон Френеля буде парне або непарне. Якщо число зон непарне, то у точці буде спостерігатися максимум, якщо парне – то мінімум. Максимум дії відповідає розміру отвору в одну зону. Найменша освітленість відповідає двом зонам.

 

 

Рисунок 2 – Схема дифракції на круглому отворі. Зони Френеля побудовані для центральної точки .

 

 

Рисунок 3 – Картини дифракції на круглому отворі: – отвір відкриває непарне число зон; – отвір відкриває парне число зон.

 

Дифракція на круглому екрані. Якщо розмістити між точковим джерелом світла та точкою спостереження непрозорий круглий диск радіуса , так щоб він закривав перших зон Френеля, то дифракційна картина має вигляд концентричних світлих та темних кілець. У центрі картини при будь-якому (як парному, так і непарному) отримуємо світлу пляму. З віддаленням від у сторони кільця стають все менш різкими, поки вдалині не утвориться рівномірна освітленість (рис. 5).

 

 

Рисунок 4 – Дифракція світла від круглого непрозорого диска та розподіл інтенсивності світла від відстані від центру картини.

 

 

Рисунок 5 – Картина дифракції на круглому диску.

 

Подібні побудови роблять при дифракції на краю екрану, на вузькій щілині та на вузькому довгому екрані.

Дифракція Фраунгофера. Розглянемо дифракцію Фраунгофера від щілини. Нехай плоска монохроматична світлова хвиля падає нормально до площини щілини шириною (рис. 6). За щілиною розміщено збірну лінзу, а у фокальній площині лінзи – екран. Внаслідок явища дифракції на екрані спостерігається дифракційний спектр. Визначимо оптичну різницю ходу між крайніми хвилями та , які йдуть від щілини у напрямі який відхилений від прямолінійного поширення на кут . З трикутника одержимо:

	(4)

 

Розіб’ємо щілину на зони Френеля, які мають вигляд смуг, паралельних ребру щілини. Ширина кожної зони вибирається так, щоб різниця ходу від кінців цих зон була рівна , тобто всього на ширині щілини вміститься зон. Оскільки світло на щілину падає нормально, то площина щілини співпадає з фронтом хвилі, а тому усі точки фронту у площині щілини будуть коливатись з однаковою фазою. Амплітуди вторинних хвиль у площині щілини будуть рівними, тому що вибрані зони Френеля мають однакові площини і однаково нахилені.

З випливає, що число зон Френеля, які укладаються на ширині щілини, залежать від кута . Від числа зон Френеля, у свою чергу, залежить результат накладання усіх вторинних хвиль. При інтерференції світла від кожної пари сусідніх зон Френеля амплітуда результуючих коливань рівна нулю, так як коливання від кожної пари сусідніх зон взаємно гасять одне одного.

Отже, якщо число зон Френеля парне:

	(5)

 

то у точці спостерігається дифракційний мінімум.

Якщо число зон Френеля непарне:

 

 

	(6)

 

то спостерігається дифракційний максимум, що відповідає дії однієї не скомпенсованої зони Френеля. В прямому напрямку щілина діє як одна зона Френеля і у цьому напрямку світло поширюється з найбільшою інтенсивністю, тобто у точці спостерігається центральний дифракційний максимум. Розподіл інтенсивності у дифракційному спектрі наведено на рис. 6.

Положення дифракційного максимуму залежить від довжини хвилі, а тому розглянутий дифракційний спектр спостерігається для монохроматичного світла, у випадку білого світла буде спостерігатися сукупність відповідних картин для різних кольорів, зсунутих один відносно інших у відповідності з довжиною хвилі. Центральний максимум буде загальним для усіх довжин хвиль, а тому центр дифракційної має вигляд білої смуги, що переходить у кольорову картину. Наступні максимуми для різних довжин хвиль уже не співпадають між собою, ближче до центру розміщуються максимуми, що відповідають більш коротким хвилям.

Велике практичне значення має дифракція, яка спостерігається при проходженні світла через одномірну дифракційну решітку, яка являє собою систему паралельних щілин рівної ширини, що лежать в одній площині розділені рівними по ширині непрозорими проміжками (рис. 7). Сума ширини і проміжку між щілинами називається періодом дифракційної решітки :

 

 

Рисунок 6 – Дифракція Фраунгофера від однієї щілини.

 

	(7)

 

При освітленні решітки монохроматичним світлом отримаємо на екрані дифракційну картину, яка визначається як результат взаємної інтерференції хвиль, які йдуть від усіх щілин, тобто у дифракційній решітці здійснюється багатохвильова інтерференція когерентних дифрагованих хвиль світла, які йдуть від усіх щілин.

 

Якщо є щілин, то умова додаткових мінімумів:

	(8)

 

де . Різниця ходу хвиль від сусідніх щілин рівна:

	(9)

 

 

Рисунок 7 – Положення головних максимумів і додаткових мінімумів та розподіл інтенсивності при дифракції на дифракційній решітці.

 

Різниця фаз:

	(10)

 

Для тих напрямів, для яких :

	(11)

 

Формула визначає положення максимумів інтенсивності, які називаються головними. Число дає порядок головного максимуму. Максимум нульового порядку тільки один, максимумів першого , другого і т.д. порядків буває по два, які розміщуються симетрично відносно центрального максимуму нульового порядку . З ростом інтенсивність дифракційних максимумів зменшується. Чим більше щілин , тим більше мінімумів утворюється між сусідніми головними максимумами. Тобто між двома головними максимумами розміщується додаткових мінімумів, розділених вторинними максимумами.

Дифракція світла застосовується у різних пристроях акустооптики, для модуляції світла, при акустооптичній обробці сигналів, для приймання сигналів в ультразвукових лініях затримки. За допомогою дифракції світла визначають характеристики звукових полів (звуковий тиск, інтенсивність звуку), вимірюється поглинання і швидкість поширення ультразвукових хвиль, модулі пружності другого та третього порядків, пружно оптичні та магнітооптичні властивості матеріалів.

Дифракційна решітка являє собою скляну або металеву пластинку, на яку за допомогою ділильної машини через строго однакові інтервали нанесені паралельні штрихи, що лежать в одній площині і розділені рівними по ширині непрозорими проміжками . Сума ширини і проміжку між щілинами називається періодом дифракційної решітки :

	(12)

 

У навчальних лабораторіях як правило використовуються відпечатки таких гравірованих решіток – репліки, виготовлені зі спеціальних пластмас.

Дифракційна решітка, як спектральний апарат, дозволяє визначити з дуже великою точністю довжини хвиль або різницю в довжинах хвиль двох близьких спектральних ліній. Для порівняння між собою дію різних спектральних апаратів і вибрати, який з них найбільш придатний при розв’язанні тієї чи іншої фізичної задачі, треба встановити певні характеристики спектральних апаратів. Основними спектральними характеристиками дифракційної решітки є: дисперсія, роздільна здатність, дисперсійна область.

Дисперсія дифракційної решітки. Основне призначення спектральних апаратів – встановлення довжини хвилі досліджуваного світла. Це завдання у більшості випадків зводиться до визначення різниці у довжинах хвиль двох близьких спектральних ліній. Положення спектральної лінії в апараті задається кутом, що визначає напрям променів. Якщо двом лініям, які відрізняються за довжиною хвилі на , відповідає різниця у кутах, що дорівнює , то мірою дисперсії буде величина:

	(13)

 

яка вимірюється у кутових одиницях на нанометр (кутова дисперсія). Через те, що ми часто спостерігаємо положення лінії на екрані, то зручно замінити кутову відстань між лініями лінійною відстанню . Якщо фокусна відстань лінзи, яка проектує спектр на екран, дорівнює , то . Тоді лінійна дисперсія:

	(14)

Нехай маємо дві близькі лінії та . Відстань між максимумами для цих ліній можна знайти з умови, яка визначає положення головних максимумів:

	(15)

 

Диференціюючи, отримаємо:

	(16)

 

тобто

	(17)

 

Отже, дисперсія тим більша, чим менший період решітки і чим вищий порядок спостережуваного спектру.

Роздільна здатність. Можливість розділення двох ліній є дещо невизначеною. За пропозицією Релея умовно вважають розділення повним, коли дві спектральні лінії розміщені, як показано на рис. 8.

Тобто коли максимум першої лінії збігається з мінімумом другої. Найменша різниця у довжинах хвиль , яка задовольняє поставлену умову, і визначить собою здатність спектрального апарату до розділення близьких довжин хвиль. В зазначеній формі критерій Релея не застосовний до інтерференційних спектральних апаратів. Тому критерію Релея надають дещо інше формулювання. Згідно якого, якщо дві суміжні лінії мають однакову інтенсивність і форму, то мінімум між лініями становить близько від сусідніх максимумів.

 

Рисунок 8 – Розподіл інтенсивності для двох ще роздільних спектральних ліній (критерій Релея). Глибина сідловини на інтегральній кривій інтенсивності двох близьких і однаково інтенсивних ліній становить не менше висоти сусідніх максимумів.

 

За міру роздільної здатності спектрального апарата приймають відношення довжини хвилі , біля якої проводять вимірювання, до вказаного мінімального інтервалу :

	(18)

 

Для дифракційної решітки роздільну здатність можна знайти також за формулою:

	(19)

 

де – порядок дифракційного максимуму;

– число інтерферуючих хвиль (штрихів решітки). Отже, роздільна здатність решітки при заданому числі штрихів збільшується при переході до спектрів вищих порядків. Максимальне значення відповідає максимальному , яке визначають з умови, за якою синус кута дифракції не може перевищувати . Таким чином, з основної формули решітки знаходимо, що:

	(20)

 

і, отже, максимальна роздільна здатність решітки є:

	(21)

 

де – загальна ширина решітки. Отже, максимальна роздільна здатність решітки визначається її загальною шириною або точніше, максимальною різницею ходу, вираженою у довжинах хвиль між хвилями від першого і останнього штриха решітки.

Дисперсійна область. При вивченні впливу немонохроматичного світла на інтерференційну картину, встановлено, що збільшення ширини спектрального інтервалу утруднює спостереження інтерференції. Причиною є взаємне перекриття максимумів, що відповідають початку і кінцю даного інтервалу довжин хвиль. Це обмежує робочу ділянку спектральних приладів. Кожний спектральний прилад характеризується максимальною шириною спектрального інтервалу, при якій ще не відбувається перекривання максимумів сусідніх порядків, що відповідають початку і кінцю інтервалу. При цьому ще можна дістати дискретні максимуми і мінімуми. Ця ширина спектрального інтервалу називається дисперсійною областю спектрального приладу:

	(22)

 

Завдяки великій дисперсійній області дифракційної решітки стає можливим проведення за допомогою цього приладу аналізу білого світла.